Народився 15 липня1985 року в місті Анталья. Вихованець футбольної школи місцевого «Антальяспора». Дорослу футбольну кар'єру розпочав 2002 року в основній команді того ж клубу, в якій провів чотири сезони, взявши участь у 70 матчах чемпіонату і за підсумками сезону 2005–06 допоміг рідному клубу вийти в Суперлігу, проте дебютувати за неї в еліті не встиг.
Своєю грою за цю команду привернув увагу представників тренерського штабу «Бешикташа», до складу якого приєднався 14 червня2006 року. Проте, гра в складі «чорних орлів» у Бурака не пішла — за півтора року від забив у чемпіонаті лише шість голів, тому на початку 2008 року був відданий в «Манісаспор», як частина суми за покупку Філіпа Голошко.
Проте вже в кінці сезону «Манісаспор» вилетів з Суперліги і був змушений продати Їлмаза в столичне «Фенербахче». Але й у цьому гранді в Бурака гра не пішла і він рідко виходив на поле в важливих матчах, тому по завершенню сезону на правах оренди був відданий в «Ескішехірспор», де також не показував своїх бомбардирських якостей.
На початку 2010 року перейшов у «Трабзонспор» і в тому ж сезоні допоміг команді виграти кубок Туреччини, а в подальшому став основним нападником команди, забиваючи левову частку голів команди, а за підсумками сезону 2011/12 Їлмаз з 33 забитими м'ячами став найкращим бомбардиром чемпіонату Туреччини.
13 липня2012 року за 5 млн євро перейшов в столичний «Галатасарай», в якому також став важливим гравцем основного складу команди. За чотири сезони у футболці стамбульського гранду провів за клуб 141 матч і забив 82 м'ячі. Також за цей час здобув сім трофеїв.
У 2016–2017 роках виступав у Китаї за «Бейцзин Гоань», після чого повернувся на батьківщині і грав за «Трабзонспор» та «Бешикташ». Завершував кар'єру за кордоном у французькому «Ліллі» та нідерландській «Фортуні» (Сіттард). 5 червня 2023 року Їлмаз оголосив про завершення кар'єри кравця у віці 37 років[1].
12 квітня 2006 року дебютував в офіційних матчах у складі національної збірної Туреччини у товариській зустрічі проти збірної Азербайджану (1:1). Першим м'ячем за турецьку команду відзначився 3 червня 2011 року, забивши гол у ворота збірної Бельгії у відбірній грі до ЧЄ-2012.
З командою був учасником чемпіонатів Європи 2016 та 2020 років. На обох турнірах він зіграв в усіх трьох іграх, але обидва рази турки не виходили з групи.
24 березня 2022 року у матчі відбіркового плей-оф на чемпіонат світу зі збірною Португалії його збірна Туреччини пропустила два голи ще у першому таймі. У другій половині саме Їлмаз спочатку відіграв один гол, а потім отримав шанс зрівняти рахунок з пенальті, але влучив у перекладину. В результаті турки програли той матч і не пробились на «мундіаль», відразу після чого капітан та лідер турецької збірної оголосив про закінчення міжнародної кар'єри. Всього за 16 років він провів за національну збірну Туреччини 77 матчів, в яких забив 31 гол, ставши другим найкращим бомбардиром в історії команди після Хакана Шукюра (51 гол)[2].
Тренерська кар'єра
1 липня 2023 року Їлмаз став помічником тренера Шенола Гюнеша«Бешикташа». А вже 10 жовтня 2023 року, після відставки Гюнеша, Їлмаз був призначений тимчасовим головним тренером. Під його керівництвом «Бешикташ» зазнав 4 поразок у 6 поєдинках, в тому числі вилетів з єврокубків після несподіваної домашньої поразки від «Буде-Глімта» (1:2) у груповому етапі Ліги конференцій Європи, після чого Бурак покинув команду[3].
28 січня 2024 року «Кайсеріспор» оголосив про призначення Їлмаза новим головним тренером[4].