Богоссян почав свою кар'єру в марсельському«Олімпіку», де він грав у складі дубля, в якому провів три сезони, взявши участь у 78 матчах чемпіонату. 1992 року, з метою отримання ігрової практики, Богоссян був відданий в оренду в «Істр», який грав на той момент у другій французькій лізі.
Після сезону в «Істрі» він повернувся в «Марсель» і у сезоні 1993/94 дебютував за основну команду. За підсумками сезону команда зайняла друге місце в чемпіонаті, а Ален зіграв у 28 іграх та забив 2 голи.
Влітку 1994 року Богоссяна купив італійський клуб з Серії А«Наполі». Після трьох років гри в неапольському клубі він перейшов до складу «Сампдорії». За генуезький клуб футболіст грав протягом сезону, після цього перейшов в «Парму», у складі якої у фіналі Кубка УЄФА 1998/99 обіграв свою колишню команду «Марсель» з рахунком 3:0. Того ж року команда виграла і два національні трофеї — Кубок та Суперкубок Італії, обігравши відповідно «Фіорентину» (1:1, 2:2) та «Мілан» (2:1). Причому в грі проти міланців саме гол Богоссяна на 92 хвилині приніс перемогу «хрестоносцям». 2002 року Ален виграв свій останній трофей у кар'єрі, обігравши з «Пармою» у фіналі національного кубка «Ювентус» (1:2, 1:0).
Влітку 2002 року Богоссян підписав контракт з клубом Іспанського Прем'єр-Дивізіону«Еспаньйол», проте через травми дуже рідко виходив на поле і по закінченні сезону завершив кар'єру професійного футболіста.
Протягом кар'єри у національній команді, яка тривала 6 років, провів у формі головної команди країни 26 матчів, забивши 2 голи.
Кар'єра тренера
В липні 2008 року Богоссян був призначений помічником тренера збірної ФранціїРаймона Доменека[3], який залишився на своїй посаді після провального Євро-2008. Після чемпіонату світу 2010 року Доменека на посаді головного тренера змінив Лоран Блан, але Богоссян продовжив працювати асистентом[4]. Після невдалого виступу на Євро-2012 Блан покинув збірну[5], а новий тренер Дідьє Дешам звільнив Богоссяна з посади асистента.