Landau-Kolmogorov eşitsizliği

Matematikte Landau-Kolmogorov eşitsizliği gerçel sayıların bir altkümesi üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun farklı türevleri arasında ilişki kuran bir aradeğerleme eşitsizlikleri ailesidir.

Eşitsizliğin ifadesi

${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$ bir aralık olsun ve ${\displaystyle f}$ ise bu aralık üzerinde ${\displaystyle n}$ kere sürekli türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer, hem ${\displaystyle f}$ hem de ${\displaystyle f^{(n)}}$ sınırlıysa, o zaman her ${\displaystyle 1\leq k<n}$ için

${\displaystyle \|f^{(k)}\|_{L_{\infty }(T)}\leq C(n,k,T){\|f\|_{L_{\infty }(T)}}^{1-k/n}{\|f^{(n)}\|_{L_{\infty }(T)}}^{k/n}}$

eşitsizliğini sağlayan bir ${\displaystyle C(n,k,T)}$ sabiti vardır.^[1][2]

Eşitsizlik, k = 1, n = 2 ve T = [c,∞) veya T = R durumlarında ilk defa Edmund Landau^[3] tarafından C(2, 1, [c,∞)) = 2 ve C(2, 1, R) = √2 en iyi kestirim sabitleri ile kanıtlanmıştır. Jacques Hadamard ve Georgiy Şilov'un katkılarından sonra, Andrey Kolmogorov keyfi n, k için en iyi kestirim sabitlerini buldu:^[4]

${\displaystyle C(n,k,\mathbb {R} )=a_{n-k}a_{n}^{-1+k/n}}$

Burada, a_n ile Favard sabitleri gösterilmiştir.

Genelleştirmeler

Şu şekilde genelleştirmeleri vardır:

${\displaystyle \|f^{(k)}\|_{L_{q}(T)}\leq K\cdot {\|f\|_{L_{p}(T)}^{\alpha }}\cdot {\|f^{(n)}\|_{L_{r}(T)}^{1-\alpha }}{\text{ for }}1\leq k<n.}$

Burada üç norm birbirinden farklı olabilir ve normlar L₁ den o L_∞a kadar değişebilir; en bilinen durum ise p=q=r=∞ durumudur. ${\displaystyle T}$ gerçel eksen, yarı eksen veya kapalı bir aralık olabilir.

Kallman-Rota eşitsizliği, Landau-Kolmogorov eşitsizliklerini türev operatöründen Banach uzaylarındaki daha genel büzüşmelere genelleştirir.^[5]

Kaynakça

1. Weisstein, E.W. "Landau-Kolmogorov Constants". MathWorld--A Wolfram Web Resource. 27 Mayıs 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 11 Ocak 2025. 
2. Schoenberg, I. J. "The Elementary Case of Landau's Problem of Inequalities Between Derivatives." Amer. Math. Monthly 80, 121-158, 1973.
3. Landau, E. (1913). "Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktionen". Proc. London Math. Soc. 13: 43–49. doi:10.1112/plms/s2-13.1.43. 6 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 11 Ocak 2025. 
4. Kolmogorov, A. (1949). "On Inequalities Between the Upper Bounds of the Successive Derivatives of an Arbitrary Function on an Infinite Interval". Amer. Math. Soc. Transl. 1–2: 233–243. 
5. Kallman, Robert R.; Rota, Gian-Carlo (1970), "On the inequality ${\displaystyle \Vert f^{\prime }\Vert ^{2}\leqq 4\Vert f\Vert \cdot \Vert f''\Vert }$", Inequalities, II (Proc. Second Sympos., U.S. Air Force Acad., Colo., 1967), New York: Academic Press, ss. 187-192, MR 0278059 .