Kuantum harmonik salınıcı, klasik harmonik salınıcın benzeşiğidir. Rastgele seçilmiş potansiyeli denge noktası civarında harmonik potansiyele yakınsanabildiğinden nicem mekanğindeki en önemli model sistemlerden biridir. Dahası, nicem mekaniğinde kesin analitik çözümü olan çok az sistemden biridir.
Tek boyutlu harmonik salınıcı
Hamilton İşlevi ve Enerji Özdurumu
Parçacığın Hamilton işlevi (bir sistemin enerjisini momentumu ve konumuna bağlı olarak ifade etmeye yarayan işlev):
m parçacığın kütlesi, ω açısal frekansı, konum işlemcisi ve momentum işlemcisidir. Momentum işlemcisi ise şu denklemle bulunur:
Hamilton işlevindeki ilk ifade parçacığın olası hareket (kinetik) enerjisidir ve ikinci terim sırasıyla potansiyel enerji durumunu ifade eder.
Zamandan bağımsız Schrödinger eşitliği;
Yine de E zamandan bağımsız olan enerji düzeyini ve gerçek bir sayıyı ifade eder öz değeri olarak adlandırılabilir ve çözüm |ψ⟩ özdurumdaki enerji düzeyini gösterir.Öz değerinin eşitliği koordinat kökeninde dalga işlevi, ⟨x|ψ⟩ = ψ(x), bulmak için spektral yöntem kullanılarak türetilebilir. Görülür ki, çözümleri aynı kümedendir. Bu yöntem, miktarları;
Hn işlevleri Hermit polinomlarını ifade eder;
. .
Enerji düzeylerinin eşitliği ise;
. ’dir.
Bu enerji spekturumu üç nedenden dikkat edilmeye değerdir. Öncelikle enerjiler nicelenir, yani sadece ayrık enerji değerleri mümkündür (tam sayı ve yarısının toplamı ile ħω'ın çarpımı); bu nicem sistemlerinde, parçacık sınırlandığındaki sistemlerin genel özelliğidir. İkinci olarak, bu ayrık enerji düzeylerinde eşit olarak boşluk bırakılır, Bohr atom modelinin aksine ya da kutudaki parçacık gibi. Üçüncü olarak, ulaşılabilen en düşük enerji (n = 0 durumu, zemin durumu) potansiyel enerjiden büyüktür ancak hw/2'den küçüktür bu duruma sıfır noktası enerjisi denir. Heisenberg'ün belirsizlik ilkesine göre sıfır noktası enerjisi yüzünden, salınıcının zemin noktasındaki konumu ve momentumu klasik salınıcıda olduğu gibi düzgün değildir, ama dağılım çeşitliliği azdır. Sıfır noktası enerjisinin nicem alan kuramı ve nicem kütleçekimi içinde oldukça büyük önemi vardır. Zemin durumu olası özkütlesinin sıfır noktasında yoğunlaşması dikkate alınması gereken bir durumdur. Bu parçacığın beklendiği gibi düşük bir enerji ile zamanının çoğunu potansiyel kuyusunun dibinde geçirdiği anlamına gelir.
Enerjinin artması ile birlikte, olası özkütle enerjinin potansiyel enerji ile uyuştuğu klasik dönüm noktalarında yoğunlaşır. Bu klasik harmonik salınıcı ile tutarlıdır, bunun için parçacık zamanının çoğunu en yavaş olduğu dönüm noktalarında harcar. Bu yüzden karşılanım ilkesi doğrudur.
Yaradış-yokediş işlemcileri yöntemi
Bu spektral yöntem, tekdüze bir yöntem olarak değerlendirilebilir.Paul Dirac tarafından geliştirilen yaradış-yokediş işlemci yöntemi türev denklemini çözmemize gerek kalmadan enerjinin öz değerini bulmamızı sağlar. Dahası, nicem alan kuramındaki birçok karışık problem için genellenebilir.Bu başlangıçtan sonra, işlemcileri a olarak ve a'nın bitiştirilmişi (adjoint), (a†) olarak tanımlıyoruz,
Bu ( ve ) kullanmamızı sağlar,
Operator a Hermit işlevi değildir, çünkü kendisi ve bitiştirilmişi eşit değildir. Yine de enerji öz durumu |n⟩, bu yaradış-yokediş işlemcileri tarafından işletildiğinde, şunu verir;
.
Bu a nicemi silerken '(a†)ın nicem salınıcı için nicemde bir enerjisi olduğunun ispatıdır, bu yüzden, yaradış-yokediş işlemcileri olarak anılırlar.
Yukarıdaki ilişkilere göre, sayı işlemcisini de tanımlayabiliriz, N:
.
Bu çeviriciler kolaylıkla kuralsal öndelenim (komütasyon) ilişkilerini elde etmemizi sağlar.,
Hamilton işlemcileri şöyle gösterilebilir;
Yani, enerjinin öz durumu aynı zamanda N'nin öz durumudur.
Öndelenim (Komütasyon) özellikleri;
Ve benzer olarak
dir.
Bu şu anlama gelir; a |n⟩’e göre değişir, çarpımsal bir sabit, |n–1⟩, üretmek için ve (a†) |n⟩’e göre değişir, |n+1⟩, sabitini üretmek için değişir. Bu yüzden, a düşürücü işlemci ve (a†) yükseltici işlemcisi olarak da adlandırılır. Bu iki işlemciye yaradış-yokediş işlemcileri de denir. Nicem alan kuramında yaradış-yokediş işlemcileri olarak da adlandırılırlar çünkü enerjinin miktarına göre parçacık yaratıp yok ederler.
Daha az enerjiyle başka bir öz durumu yaratmak için düşürücü işlemciyi kullanırız. Bu uygulamayı düşürücü işlemci de takip ederek, E = −∞) ‘a kadar enerji üretebilirmiş gibi gösterebiliriz . Ancak,
En küçük öz sayısı 0’dır ve
..
Bu durumda, düşürücü işlemcinin sonraki uygulamaları öz durumu enerjilerine ek olarak 0’ı üretecektir.
Son olarak, |0⟩ yükseltici işlemciyi ve uygun standartlaştırma faktörlerini çarparak sonsuz sayıda öz durumu enerji setleri üretiriz.
,
örneğin
,
Enerji spektrumu ile uyumludur.
Rastgele öz durumu |0⟩ ile şu şekilde ifade edilir,
.
İspat:
|0>’ın Zemin durumu a |0⟩ = 0 olarak gösterilir,
Ve bu yüzden
önceki bölümdeki gibi.
Doğal uzunluk ve enerji ölçekleri
Nicem harmonik salınıcı, uzunluk ve enerji için problem kolaylaştıracak doğal ölçeklere sahiptir. Boyutsuzlaştırmayla bulunabilir. Sonuç bize eğer enerjisini ħω ile mesafeyi √ħ/(mω) ile ölçersek Schrödinger’in denklemi şöyle olur;
Enerji öz değerleri ve işlevleri olurken
Hn(x) Hermit polinomları demektir.
Karışıklıktan kaçınmak için, bu makalede “doğal birmler”`i benimsememeliyiz. Ancak bu birimler çoğunlukla hesaplamalarda karışıklığı atlandığından kolay gelir.
Faz-uzayı çözümleri
Nicem mekaniğinin faz-uzayı denklemleştirilmesinde, nicem harmonik salınıcı için olasılık dağılımında birkaç farklı temsili çözümler yazılabilir. En yaygın kullanılanı ise Wigner işlevidir.
Çözümü şöyledir;
Bu örnek bize gösterir ki Wigner-Weyl dönüşümü sayesinde Hermit ve Laguerre polinomları birbiri ile ilişkilidir.
N-boyutlu harmonik salınıcı
Tek boyutlu harmonik salınıcı N-boyutluya kolaylıkla genellenebilir, N=1,2,3,…olabilir. Bir boyutta, parçacığın konumu tek koordinat x ile belirlenebilir. N boyutta ise, bu N koordinat ile yer değişir, x1, ..., xN. Buna göre her konumun momentumunu olduğunu düşünürsek, momentum p1, ..., pN şeklinde gösterilebilir. Bu iki işlemci arasındaki kuralsal değiştirme ilişkisi şöyledir;
.
Sistemin Hamilton işlevi,
.
Bu Hamilton işlevi formunun açıkça gösterdiği gibi, N-boyutlu harmonik salınıcı N tane bağımsız, aynı kütle ve yay sabitine sabit salınıcı ile tamamıyla aynı şeydir. Bu durumda, nicelikler, x1, ..., xN, N tane parçacığın yerini belirtirler. Bu potansiyelinin, potansiyel enerjinin koordinatlara göre ayrılmasını sağlayan uygun bir özelliğidir.
Gözlemler bu çözümü doğrular niteliktedir. Belirli nicem sayıları seti için {n} N-boyutlu salınıcının enerji öz işlevleri 1-boyutlu öz işlevi gibi ifade edilir:
Yaradış-yokediş işlemci yönteminde, N tane yaradış-yokediş işlemci serisi belirlenir,
.
Tek-boyutlu duruma göre benzer işlem uygulanırsa, burada da ai ve a†i alçaltan ve yükselten işlemciler diyebiliriz. Hamilton işlevi,
Hamilton işlevi, dinamik eşbakışım(simetri) grubunun altındaki U(N) (boyutların bölünmez grubu) sabit niceliktir, şöyle tanımlanır,
Tek-boyutlu durumdaki gibi enerji nicemlenir. Taban durum enerjisi tek boyutlu durum enerjisinin N katıdır, bu benzerliği beklendiği gibi N tane bağımsız tek-boyutlu salınıcı için kullanırız. Bunun dışında bir fark daha vardır tek-boyutlu durumda, tüm enerji düzeyleri farklı bir nicem değeri ifade eder. N-boyutta, zemin durumu hariç, enerji düzeyleri bozulur, bu yüzden bazı durumlarda aynı enerji olur.
Çakışıklık (degeneracy) diğer işlemlere oranla kolayca hesaplanabilir. Örnek olarak, 3-boyutlu bir durumu varsayalım: n = n1 + n2 + n3 olarak tanımlayalım. Tüm durumlar aynı n ile eşit enerjiye sahip olur. Bilinen n için, belirli bir n1 seçilir, n2 + n3 = n − n1 'dir. n − n1 + 1'in olası grupları {n2, n3}'dir. n2 0'dan n − e kadar değerler alır ve tüm n2 değerli için n3 ayarlanır. Çakışıklığın (degeneracy) derecesi şöyle hesaplanır.
Genel N ve n için denklem şudur; [gn : bölünmez grubun temsili indirgenemez eşbakışımlı (simetrik) n'inci kuvvetidir ]
Verilen özel durum N = 3, tamamen bu eşitliği takip edilerek bulunur. Ancak bu sadece fark edilebilir parçacıklar için doğrudur ya da N-boyuttaki bir parçacık için doğrudur. N tane bozon için geçerli durumdaki çakışıklık çizelgesi tam sayıları kullanarak yazıldığında N'den küçük ya da N'e eşittir.
Bu durum N nicemini ve , sınırlayınca ortaya çıkar.
Örnek: 3D izotropik harmonik salınıcı
Küresel eşbakışımlı üç boyutlu harmonik salınıcı Scrödinger eşitliği değerlerin ayrılığı ile açıkça çözülebilir.Bu işlem, hidrojen-benzeri atom probleminin benzeşiğidir ve küresel eşbakışımlı potansiyeli ile,
problemin kütlesidir. (Çünkü m manyetik nicem sayısı olarak kullanılacak, bu yüzden kütle ile ifade edilecek.).Çözüm okunur
birimboylandırım sabitidir.
Laguerre polinomu olarak genellenebilirler. k negatif olmayan bir tam sayıdır.
Enerji genelde tek bir nicem sayısıyla ifade edilir.
Çünkü k tüm ve değerleri için negatif olmayan bir tam sayıdır, Manyetik nicem sayısı m, ’e uyan bir tam sayıdır, tüm n ve l değerleri için bu yüzden n’in bozulma düzeyi,
‘dir.
n’in çift ya da tek olmasına göre toplam 0 ya da 1’den başlar. Bu sonuç üsteki boyut denklemine göre ve SU(3)’ün eşbakışımlı temsili ile ilgili çakışıklık grubudur.
Harmonik salınıcı kafesi: fononlar
Harmonik salınıcı görüşünü birçok parçacığın kafesi olarak genişletebiliriz. Tek boyutlu nicem mekanik harmonik zincirinde N tane özdeş atom ele alınır. Bu kafesin en basit nicem mekaniksel modelidir ve bundan nasıl fononların yayıldığını görürüz. Bu model için gelişecek olan biçim iki ve üç boyutlu olarak genellenebilir.
Bundan önceki bölümde, denge konumlarına göre ölçüm yaparak kütlelerin konumları olan ’yi bulduk (i.e. eğer parçacık denge konumundaysa.) İki ya da daha fazla boyutta, ‘ler yöneyli değerlerdir. Sistemin Hamilton işlevi
m, her atomun ayrı kütlesi (hepsinin eşit olduğunu var sayılır) ve i. atom için ve en yakın komşuları için (nn) ve konum ve momentum işlemcileridir. Ancak, beklendiği gibi, kafeste dalgalar parçacık gibi davrandığı görünebilir. Dalgaların hareketlerinde, dalgayöneyi normal modları kullanılarak parçacıkların koordinat değerleri yerine Fourier uzayı özel olarak işlenir. Normal modların sayıları parçacıklarla aynıdır ancak Fourier uzayı sistemin tekrarsıklığı için oldukça kullanışlıdır. N'in “normal koordinatlar” seti xs'in ayrık Fourier dönüşümleri olarak tanımlanır ve N “eşlenik momentumları” Π ps'nin Fourier dönüşümleri olarak tanımlanır
fononun dalga numarasıdır, yani 2 π'nin dalga boyuna bölünmesidir. Nicelikli değerlerdir, çünkü atom sayısı sonludur. Bu seçim istenilen değiştirme ilişkilerinin gerçek boşluk ya da dalgayöneyi uzayını alıkoyar.
Genel olarak
Potansiyel enerji şöyle gösterilebilir;
Hamilton işlevi dalgayöneyli olarak şöyle yazılabilir;
Konum değerleri arasındaki bağlantı dikkate alınacak bir dönüşüme uğramıştır;
Eğer Qlar ve Πler hermitian(değiller) olsalar, dönüşmüş Hamilton işlevi N eşlememiş harmonik salınıcıya eşit olur.
Kolaylık için, sınır durumunu periyoduk olarak belirleriz, atomun (N+1). Eşitliği ilk atoma eşittir.
Fiziksel olarak, bu zincirin sonuna eklenir.
Sonuç veren nicelik
Üst düzey bağ n en az (minimum) dalga boyundan gelir, yukarıda tartışıldığı gibi kafes boşluğu, a,`nın ik katıdır.
Harmonik salınıcının öz değeri ya da için enerji düzeyi:
Eğer sıfır noktası enerjisini yoksayarsak düzeyler şöyle sıralanır:
ħω, 2ħω, 3ħω, ...
ħω, 2ħω, 3ħω, ...
ħω’ ħωnin gerçek enerji değeri, sonraki enerji düzeyinin harmonik salınıcı kafesine tedarik edilmelidir. Elektromanyetik alan sayısal olarak belirlendiğinde foton durumunun kıyasında titreşim enerjisinin nicemine fonon denir.
Tüm nicem sistemleri dalgamsı ya da parçacığımsı özellik gösterirler. Fononun parçacığımsı özellikleri ikinci nicelemede en iyi anlaşılır ve işlemci teknikleri sonra tanımlanır.
Uygulamaları
Çift atomlu molekülün titreşimi iki cisimli nicem harmonik salınıcına örnektir. Açısal tekrarsıklığı şöyle bulunur,
:
indirgenmiş kütledir ve = m1m2/(m1+m²) olarak iki atomun kütlesi ile ilişkilidir.
Hooke'un atomu basit bir helyum atom modelidir nicem harmonik salınıcında da kullanılır.
Üstte tartışılan model fononlar,
Kütle ve yükün değişmeyen manyetik alanda olması açısal momentumlu tek boyutlu nicem harmonik salınıcına ya da iki boyutlu nicem harmonik salınıcına bir örnektir.
Дервіш Ероглу тур. Derviş Eroğlu Дервіш ЕроглуПрезидент Турецької республіки Північного Кіпру Нині на посадіНа посаді з 23.4.2010Попередник Мехмет Алі ТалатНародився 7 березня 1938(1938-03-07)[1][2] (85 років)Фамагуста, Турецька Республіка Північного КіпруВідомий як політикГром
هيروشي أوتشيأإي (باليابانية: 落合弘) معلومات شخصية الميلاد 28 فبراير 1946 (77 سنة) سايتاما الطول 1.77 م (5 قدم 9 1⁄2 بوصة) مركز اللعب مدافع الجنسية اليابان سنوات فريق م. (هـ.) 1964–1965 هوكايدو كونسادول سابورو 1966–1984 أوراوا رد دايموندز 267 (56) مجموع 267 (56) المنتخب ال...
Dany Nounkeu Datos personalesNombre completo Dany Achille Nounkeu TchounkeuNacimiento Yaundé, Camerún11 de abril de 1986 (37 años)Nacionalidad(es) CamerunesaAltura 1.84 metrosCarrera deportivaDeporte FútbolClub profesionalDebut deportivo 2006(CSO Amnéville)Club A. S. Arta/Solar 7Liga Primera División de YibutiPosición DefensaSelección nacionalSelección CMR CamerúnPart. 18[editar datos en Wikidata] Dany Achille Nounkeu Tchounkeu (Yaundé, Camerún, 11 de abri...
Battle on the Western Front in 1945 Ruhr pocketPart of the Western Allied invasion of Germany in the Western Front of the European theatre of World War IIAn American soldier at Rheinwiesenlager guards a massive crowd of German prisoners captured in the Ruhr pocketDate1– 18 April 1945(2 weeks and 6 days)LocationRuhr area, North Rhine-Westphalia, Germany51°28′N 7°33′E / 51.467°N 7.550°E / 51.467; 7.550Result Allied victoryCapitulation of the German 15...
هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2019) هارولد ليزلي وايت معلومات شخصية تاريخ الميلاد 14 يونيو 1905[1] تاريخ الوفاة 31 أغسطس 1992 (87 سنة) [1] مواطنة أستراليا الحياة العملية المهنة أمين مكتب
Tulip SiddiqShadow Minister for Early YearsPetahanaMulai menjabat 7 Januari 2020PemimpinJeremy CorbynSir Keir StarmerPendahuluTracy BrabinMasa jabatan9 Oktober 2016 – 26 Januari 2017PemimpinJeremy CorbynPendahuluLowongPenggantiTracy BrabinAnggota Parlemenuntuk Hampstead dan KilburnPetahanaMulai menjabat 7 Mei 2015PendahuluGlenda JacksonMayoritas14,188 (24.7%)Camden London Borough Councilloruntuk Regent's ParkMasa jabatan6 Mei 2010 – 22 Mei 2014PendahuluTheodore B...
1960s British television series This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The Man in Room 17 – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2017) (Learn how and when to remove this template message) The Man in Room 17Title cardGenreCrime DramaCreated byRobin ChapmanStarringRichard VernonMichael AldridgeDenholm E...
Mexican States by HDI, 2019. 0.800 – 1.000 (Very High) 0.700 - 0.799 (High) The following table presents a listing of Mexico's 32 federal states, ranked in order of their Human Development Index, as reported by the United Nations Development Programme with data from 1990-2017.[1] In 2019, only Mexico City and 5 Mexican states had very high human development, specifically the five highest states in the chart below. The rest of the states, aside from Chiapas, a...
Historic house in New Jersey, United States United States historic placeRathbone-Zabriskie HouseU.S. National Register of Historic PlacesNew Jersey Register of Historic Places Show map of Bergen County, New JerseyShow map of New JerseyShow map of the United StatesLocation570 North Maple Avenue, Ridgewood, New JerseyCoordinates40°59′43″N 74°6′41″W / 40.99528°N 74.11139°W / 40.99528; -74.11139Arealess than one acreBuilt1790MPSStone Houses of Bergen County TRN...
Lihat pula: Paus Yohanes Yohanes XVIAntipaus Yohanes XVI (997–998)Awal masa jabatan997Masa jabatan berakhir998PendahuluAntipaus Bonifasius VIIPenerusAntipaus Gregorius VIInformasi pribadiNama lahirIoannis PhilagathosLahirca. 945Rossano, Calabria, ItaliaMeninggalca. 1001Fulda, JermanDenominasiKatolik RomaPaus lainnya yang bernama Yohanes Yohanes XVI (ca. 945 – ca. 1001; nama lahir bahasa Yunani: Ιωάννης Φιλάγαθος, Ioannis Philagathos;[1] bahasa Italia: Giova...
В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Гласс. Картер Глассангл. Carter Glass 47-й министр финансов США 16 декабря 1918 — 1 февраля 1920 Президент Вудро Вильсон Предшественник Уильям Мак-Эду Преемник Дэвид Хьюстон Сенатор от штата Виргиния 20 февраля 1920 — 28 мая 1946 Пр...
Taoist deity Barefoot ImmortalThe painting of Barefoot ImmortalOther namesLiu Hai, Liu Cao, Liu TaoGenderMaleRegionChina Barefoot Immortal (Chinese: 赤腳大仙), also known as Barefoot Master, is a Taoist deity in Chinese religion.[1] He is known for his numerous appearances in Chinese operas and Chinese ancient literature Journey to the West and Outlaws of the Marsh. The ancient images and ceramic works that people found about the conception of the appearance of Barefoot Immort...
This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Suddenly Yours – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2020) (Learn how and when to remove this template message) 2010 studio album by Allstar WeekendSuddenly YoursStudio album by Allstar WeekendReleasedOctober 19, 2010 (2...
Fessenden nel 2010 Laurence Fessenden, detto Larry (New York, 23 marzo 1963), è un attore, regista, produttore cinematografico e scrittore statunitense. Indice 1 Biografia 2 Filmografia 2.1 Attore 2.1.1 Cinema 2.1.2 Televisione 2.2 Regista 2.3 Produttore 2.4 Sceneggiatore 3 Doppiatori italiani 4 Note 5 Collegamenti esterni Biografia Fessenden è presidente della compagnia di produzione cinematografica Glass Eye Pix,[1] con sede nella città di New York.[2] Era originariamente...
At Tizi Ansa 36°33′32″N 5°07′38″E / 36.5589°N 5.1272°E / 36.5589; 5.1272Coordinates: 36°33′32″N 5°07′38″E / 36.5589°N 5.1272°E / 36.5589; 5.1272 Awanek anayanLezzayerTawilaytTawilayt n SṭifTadayraTadayra n Buɛendas Amekzay uglimIzṭi akudan AMS+01:00 At Tizi d taɣiwant n ugezdu n Sṭif di tmurt n Lezzayer. Tarakalt Taɣiwant n At Tizi tezga-d ar tama n ugezdu n Bgayet, ar 24 km si Buɛendas d 12 km seg Yilel A...
Budi Setiawan (polisi) Karo Multimedia Divhumas PolriMasa jabatan13 Agustus 2018 – 1 Mei 2020 PendahuluRikwantoPenggantiMuharrom Riyadi Informasi pribadiLahir1 Juni 1963 (umur 60)CimahiAlma materAkademi Kepolisian (1987)Karier militerPihak IndonesiaDinas/cabang Kepolisian Negara Republik IndonesiaMasa dinas1987–2021Pangkat Brigadir Jenderal PolisiSatuanIntelSunting kotak info • L • B Brigjen. Pol. (Purn.) Drs. H. Budi Setiawan, M.M.[1] (lahir ...
Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Género ZeefuikInformasi pribadiTanggal lahir 5 April 1990 (umur 34)Tempat lahir Amsterdam, BelandaTinggi 1,80 m (5 ft 11 in)Posisi bermain PenyerangInformasi klubKlub saat ini FC GroningenNomor 36Karier junior1999–2005 Ajax2005...
كأس أوروبا 1965–66تفاصيل المسابقةالفرق31المراكز النهائيةالبطل ريال مدريدالوصيف بارتيزانإحصائيات المسابقةالمباريات الملعوبة58الأهداف المسجلة224 (3٫86 لكل مباراة)أفضل هداف أوزيبيو فلوريان ألبرت (7 أهداف)→ 1964–65 1966–67 ← كأس أوروبا 1965-66 فاز بالبطولة فريق ريال مدريد الإسبان...