Green fonksiyonları

Eğer bir nokta kaynağa tabi bir ${\textstyle G(x,x')}$ diferansiyel denkleminin çözümü biliniyorsa ${\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,x')=\delta (x-x')}$ ve diferansiyel operatör ${\textstyle {\hat {L}}(x)}$ doğrusaldır, daha sonra genel bir kaynak ${\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)}$ için ${\textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'}$ çözümünü oluşturmak için bunları üst üste koyabiliriz.

Green fonksiyonları, matematikte homojen olmayan diferansiyel denklemlerin, istenen sınır koşulları altında çözülmesinde kullanılan bir yöntemi ve bu yöntemle ilişkili olarak hesaplanan fonksiyonu belirtmekte kullanılır. İlk kez matematikçi George Green tarafından kullanılmıştır.

Tanımı ve kullanımları

Bir Green fonksiyonu, G(x, s) ve Rⁿ Öklid uzayının bir alt kümesi üzerinde bir lineer differansiyel operatör L = L(x) dağılım'ın hareketi olmak üzere, bir s noktasındaki herhangi bir çözümüdür.

   

${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}$

(1)

   

burada ${\displaystyle \delta }$ Dirac delta fonksiyonu'dur. Green fonksiyonunun bu özelliği form diferansiyel denklemleri çözmek için yararlanılabilir.

   

${\displaystyle Lu(x)=f(x).}$

(2)

   

Eğer L'nin çekirdek'i önemsiz değilse, sonra Green fonksiyonu da benzersiz değildir. Ancak, uygulamada,simetrinin bir bileşimi, sınır koşulları ve/veya diğer harici olarak empoze edilen kriterler benzersiz bir Green fonksiyonunu verecektir. Ayrıca, genel olarak Green fonksiyonlarının dağılımları vardır, mutlaka doğru fonksiyonlardır.

Green fonksiyonları da dalga denklemlerinin çözümünde yararlı bir araçtır, difüzyon denklemlerinin ve kuantum mekaniğindeki, Green fonksiyonu Hamiltonyende anahtar bir kavramdır bununla birlikte durum yoğunluğuylada önemli bağlantıları var, Bir yan not olarak, fizikte kullanılan Green fonksiyonlarının genellikle ters işareti ile tanımlanır; yani,

${\displaystyle LG(x,s)=-\delta (x-s).}$

Bu tanım, Green fonksiyonunun özelliklerini önemli ölçüde değiştirmez.

${\displaystyle G(x,s)=G(x-s).}$

Bu durumda,Green fonksiyonlarının lineer zamanla değişmeyen sistem teorisindeki impuls cevabı aynıdır.

Homojen olmayan sınır değer problemlerinin çözümü için Green fonksiyonları

Matematikte Green fonksiyonunun birincil kullanımı homojen olmayan sınır değer problemlerini çözmektir. Modern kuramsal fizik, Green fonksiyonları da genellikle Feynman diyagramları (ve ifade Green fonksiyonu genellikle herhangi bir korelasyon fonksiyonu) için kullanılır) Yayıcılar olarak kullanılmaktadır.

Çerçeve

L, Sturm–Liouville operatorü olmak üzere, şeklinde lineer diferansiyel operatör

${\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}$

ve D, sınır koşulu operatörü olmak üzere

${\displaystyle Du={\begin{cases}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l).\end{cases}}}$

f(x) [0,l] aralığında sürekli fonksiyon olmak üzere. Ayrıca varsayılan problem

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\Du&=0\end{aligned}}}$

düzenli (homojen) problem için, yalnızca önemsiz çözüm var).

Teorem

Burada tek ve yalnız tek çözümü karşılayan u(x)'dir.

${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\Du&=0\end{aligned}}}$

ve bu verilir

${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)G(x,s)\,ds}$

buradaki is koşulları sağlayan bir Green fonksiyonu G(x, s) aşağıdadır:

1. G(x, s) x ve s için süreklidir
2. ${\displaystyle x\neq s}$için, ${\displaystyle LG(x,s)=0}$
3. ${\displaystyle s\neq 0}$için, ${\displaystyle DG(x,s)=0}$
4. Türev "jump": ${\displaystyle G'(s_{+0},s)-G'(s_{-0},s)=1/p(s)}$
5. Simetri: G(x, s) = G(s, x)

Örnekler

Helmholtz denkleminin çözümüne ilişkin Green fonksiyonları şöyledir:

${\displaystyle G(x,y)={\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|x-y|)\quad x\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \{y\}}$

${\displaystyle G(x,y)={\frac {e^{-ik|x-y|}}{4\pi |x-y|}}\quad x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus \{y\}}$

Notlar

• Bu sayfanın 5 Ağustos 2010 tarihli içeriği Green'in fonksiyonu sayfasından alınmıştır.

Ayrıca bakınız

• Ayrık Green fonksiyonları ile graf tanımı ve gridler.
• Feynman Yayıcısı
• Green eşitliği
• Impulse cevabı, sinyal işlemede bir Green fonksiyonu analoğu
• Keldysh biçimciliği
• Spektral kuramı

Kaynakça

• S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapters 18 and 19.
• Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.)
• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
• G. B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth and Brooks/Cole Mathematics Series.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Green's Function (MathWorld)
• PlanetMath'te Green fonksiyonları
• Green fonksiyonları, PlanetMath.org.
• Green fonksiyonları, PlanetMath.org.
• Introduction to the Keldysh Nonequilibrium Green Function Technique3 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. by A. P. Jauho
• Tutorial on Green's functions
• Boundary Element Method (for some idea on how Green's functions may be used with the boundary element method for solving potential problems numerically) 7 Şubat 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• At Citizendium 25 Mart 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• MIT video lecture on Green's function1 Ocak 2013 tarihinde Archive.is sitesinde arşivlendi