Bu madde bir üçgenin kenarlarının uzunlukları hakkındadır. Apollonius'un çemberler üzerine çalışması için Apollonius problemi sayfasına bakınız.
yeşil / mavi alanlar = kırmızı alan
Özel bir durum olarak Pisagor teoremi: yeşil alan = kırmızı alan
Geometri'de, Apollonius teoremi, üçgenin bir kenarortay uzunluğunu kenarlarının uzunluklarıyla ilişkilendiren bir teoremdir.
"Herhangi bir üçgenin herhangi iki kenarının karelerinin toplamının, üçüncü kenarı ikiye bölen kenarortayın karesi ile üçüncü kenarın yarısının karesinin toplamının iki katına eşit olduğunu" belirtir.
Özellikle, herhangi bir ABC üçgeninde, AD bir kenarortay ise,
Teorem, Stewart'ın teoreminin özel bir durumu olarak veya vektörler kullanılarak kanıtlanabilir (bkz. Paralelkenar yasası). Aşağıdaki ise kosinüs yasasını kullanan bağımsız bir kanıttır.[1]
Üçgenin kenarları a, b, c ve kenarortay d, a kenarına çekilmiş olsun. Kenarortayın oluşturduğu a segmentlerinin uzunluğu m olsun, böylece ma'nin yarısı olur. a ve d arasında oluşan açılar θ ve θ′ olsun, burada θb ve θ′ , c'yi içerir. O zaman θ′ , θ ve cos θ′ = −cos θ ifadesinin tamamlayıcısıdır. θ ve θ′ için kosinüs teoremi şunu belirtir:
gereken sonucu elde etmek için birinci ve üçüncü denklemler eklenir ve;
bulunur.
Notlar
^Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. s. 20.
Kaynakça
Douglas, A. J. (1981). A generalization of Apollonius' theorem. The Mathematical Gazette, 65(431), ss. 19-22.
Pedoe, D. (1967). On a theorem in geometry. The American Mathematical Monthly, 74(6), ss. 627-640.
Bulwahn, L. (2020). Stewart’s Theorem and Apollonius’ Theorem. Belge 28 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.