ฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดาน

กราฟของฟังก์ชันพื้น

กราฟของฟังก์ชันเพดาน

ในทางคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ฟังก์ชันพื้น (อังกฤษ: floor function) คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ก่อนหน้า นั่นคือ floor (x) เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดที่ไม่มากกว่า x ^[1]

ส่วน ฟังก์ชันเพดาน (อังกฤษ: ceiling function) คือฟังก์ชันที่จับคู่จำนวนจริงไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ถัดจากจำนวนนั้น นั่นคือ ceiling (x) คือจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่ไม่น้อยกว่า x ^[2]

กราฟของฟังก์ชันพื้นและเพดานทั้งหมด มีลักษณะคล้ายฟังก์ชันขั้นบันได แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันขั้นบันได เนื่องจากมีช่วงบนแกน x เป็นจำนวนอนันต์

สัญกรณ์

เกาส์ได้แนะนำสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยม [x] สำหรับแทนฟังก์ชันพื้น ในการพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเขาเมื่อ ค.ศ. 1808 ^[3] สิ่งนี้เป็นบรรทัดฐานในคณิตศาสตร์เรื่อยมา ^[4] จนกระทั่งอิเวอร์สัน (Kenneth E. Iverson) ได้แนะนำให้ใช้ชื่อ "floor" และ "ceiling" พร้อมกับทั้งแนะนำสัญกรณ์ ⌊x⌋ และ ⌈x⌉ สำหรับฟังก์ชันทั้งสองตามลำดับ เพื่อเขียนโปรแกรมภาษาเอพีแอลเมื่อ ค.ศ. 1962 ^[5][6] ปัจจุบันสัญกรณ์ทั้งสองแบบก็ยังมีการใช้กันอยู่ในคณิตศาสตร์ สำหรับบทความนี้จะอธิบายด้วยสัญกรณ์ของอิเวอร์สัน

ฟังก์ชันพื้นอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มมากสุด (greatest integer function) หรือ อองเทียร์ (entier หมายถึงจำนวนเต็มในภาษาฝรั่งเศส) และสำหรับฟังก์ชันพื้นของจำนวนที่ไม่เป็นลบ x อาจเรียกว่าเป็น ภาคจำนวนเต็ม (integral part) ของ x ในภาษาโปรแกรมอื่นที่นอกเหนือจากภาษาเอพีแอล มักจะใช้สัญกรณ์ว่า ENTIER (x) (ภาษาอัลกอล), floor (x) , หรือไม่ก็ int (x) (ภาษาซี/ซีพลัสพลัส) ^[7] ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์สำหรับฟังก์ชันนี้สามารถเขียนเป็นวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองก็ได้ ${\displaystyle [\![x]\!]}$ ^[8]

ส่วนฟังก์ชันเพดานอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มน้อยสุด (least integer function) ในภาษาโปรแกรมอื่นมักจะใช้แทนด้วย ceil (x) หรือ ceiling (x) ในทางคณิตศาสตร์ มีสัญกรณ์อีกแบบหนึ่งคือวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองที่หันออก ${\displaystyle ]\!]x[\![}$ หรือใช้เพียงแค่วงเล็บเหลี่ยมธรรมดาหันออกก็ได้ ]x[ ^[9]

ตัวอย่าง

ค่า x	ฟังก์ชันพื้น ⌊x⌋	ฟังก์ชันเพดาน ⌈x⌉	ภาคเศษส่วน {x}
2.7	2	3	0.7
−2.7	−3	−2	0.3
−2	−2	−2	0
12/5 = 2.4	2	3	2/5 = 0.4

สำหรับนิยามของภาคเศษส่วน ดูในหัวข้อถัดไป

นิยามและสมบัติ

ในสูตรคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ สมมติให้ x, y เป็นจำนวนจริง k, m, n เป็นจำนวนเต็ม และ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ คือเซตของจำนวนเต็ม (อันประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์)

ฟังก์ชันพื้นและเพดานสามารถนิยามได้ด้วยเซตดังนี้

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}}$

เนื่องจากช่วงครึ่งเปิดความยาวหนึ่งหน่วย จะมีจำนวนเต็มเพียงหนึ่งตัวในช่วงนั้น ดังนั้นสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม m และ n ที่ทำให้

${\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1\,\!}$

เราจะได้ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =m}$ และ ${\displaystyle \lceil x\rceil =n}$ ซึ่งก็ถือว่าเป็นนิยามอย่างหนึ่งเช่นกัน

นอกจากนี้ก็ยังมี ${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }$ และ ${\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor }$

การเทียบเท่า

สูตรเหล่านี้สามารถใช้ถอดฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานออกจากนิพจน์ ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\iff &n&\leq x<n+1\\\lceil x\rceil =n&\iff &n-1&<x\leq n\\\lfloor x\rfloor =n&\iff &x-1&<n\leq x\\\lceil x\rceil =n&\iff &x&\leq n<x+1\\\end{aligned}}}$

และสำหรับอสมการ

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\iff &\lfloor x\rfloor &<n\\n<x&\iff &n&<\lceil x\rceil \\x\leq n&\iff &\lceil x\rceil &\leq n\\n\leq x&\iff &n&\leq \lfloor x\rfloor \\\end{aligned}}}$

สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงผลจากการบวกด้วยจำนวนเต็ม n ภายในฟังก์ชัน

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n\\\{x+n\}&=\{x\}\\\end{aligned}}}$

อย่างไรก็ตาม สูตรด้านบนอาจไม่เป็นจริงเสมอไปถ้า n ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่จะได้ผลดังนี้แทน

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \;\lfloor x+y\rfloor \;&\leq \;\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1\\&\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \;\lceil x+y\rceil \;&\leq \;\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \\\end{aligned}}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน

จากนิยามเราสามารถสรุปได้ว่า

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil }$ กรณีที่มีค่าเท่ากันคือเมื่อ x เป็นจำนวนเต็ม

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}}$

สำหรับจำนวนเต็ม n ประโยคนี้จะเป็นจริง

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n}$

สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นและเพดาน

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}}$

สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของภาคเศษส่วน

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}}$

ฟังก์ชันพื้น ฟังก์ชันเพดาน และภาคเศษส่วน เป็นฟังก์ชันนิจพล

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor \\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil \\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}\\\end{aligned}}}$

ใช้ฟังก์ชันพื้นและเพดานซ้อนกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันที่อยู่ในสุด

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil \\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \\\end{aligned}}}$

กำหนดให้ y มีค่าคงตัว x mod y จะเป็นนิจพล

${\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\,{\bmod {\,}}y=x\,{\bmod {\,}}y}$

และจากนิยาม

${\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1}$

ผลหาร

ถ้า n ≠ 0 แล้ว

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}}$

ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก ^[11]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil }$

ถ้า m เป็นจำนวนเต็มบวก ^[12]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil }$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor }$

ซึ่งเมื่อ m = 2 จะทำให้เกิดสมบัตินี้

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }$

กรณีทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มบวก m ^[13]

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil }$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor }$

สูตรต่อไปนี้สามารถเปลี่ยนระหว่างฟังก์ชันพื้นกับฟังก์ชันเพดาน เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มบวก ^[14]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1}$

ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {im}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1)}$

เนื่องจากสูตรข้างต้น m และ n มีความสมมาตรต่อกัน จึงสามารถกระจายฝั่งซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับได้ดังนี้

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor }$

และสำหรับกรณีทั่วไป เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor }$  ${\displaystyle =\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor }$

สิ่งนี้เรียกว่า กฎการแลกเปลี่ยน ^[15]

ผลหารซ้อน

สำหรับจำนวนเต็มบวก m และ n และจำนวนจริง x

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil }$

ความต่อเนื่อง

ฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นช่วง ซึ่ง ⌊x⌋ กับ ⌈x⌉ เป็นฟังก์ชันคงตัวในแต่ละช่วง และไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม {x} ก็ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็มเช่นกัน แต่ไม่ได้เป็นฟังก์ชันคงตัว ส่วน x mod y เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่พหุคูณของ y ถ้าให้ y มีค่าคงตัว

⌊x⌋ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน (upper semi-continuous function) และ ⌈x⌉ กับ {x} เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semi-continuous function) ส่วน x mod y จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเมื่อ y เป็นจำนวนบวก และเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเมื่อ y เป็นจำนวนลบ

การกระจายอนุกรม

เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่ต่อเนื่อง จึงไม่มีฟังก์ชันใดที่เขียนแทนด้วยการกระจายอนุกรมกำลังได้ และเนื่องจากฟังก์ชันพื้นและเพดานไม่เป็นคาบ (periodic) สองฟังก์ชันนี้จึงไม่มีการกระจายอนุกรมฟูรีเย

สำหรับ x mod y โดยที่ y มีค่าคงตัว มีการกระจายฟูรีเยดังนี้ ^[16]

${\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y={\frac {y}{2}}-{\frac {y}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi kx}{y}}\right)}{k}}}$

ด้วยสมบัติที่ว่า {x} = x mod 1 ดังนั้นจะได้

${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

ในจุดที่เกิดความไม่ต่อเนื่อง อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งที่เป็นค่าเฉลี่ยของลิมิตทางซ้ายและทางขวา สำหรับ x mod y ซึ่ง y มีค่าคงตัว อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้า y / 2 ที่ตำแหน่งพหุคูณของ y ส่วนในจุดอื่น ๆ ที่มีความต่อเนื่อง อนุกรมจะลู่เข้าค่าจริง

จากสูตรที่ว่า {x} = x − ⌊x⌋ จึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

การประยุกต์ใช้

ภาคเศษส่วน

ภาคเศษส่วน (fractional part) เป็นฟังก์ชันฟันเลื่อย เขียนแทนด้วย {x} สำหรับทุกจำนวนจริง x ซึ่งนิยามโดยสูตรนี้ ^[17]

${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }$

ภาคเศษส่วนของ x จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 นั่นคือ

${\displaystyle 0\leq \{x\}<1}$

ถ้า x เป็นจำนวนบวก ฟังก์ชันพื้นของ x สามารถสรุปได้อย่างง่ายว่า เป็นค่า x ที่ตัดตัวเลขหลังจุดทศนิยมออกไป ดังนั้นภาคเศษส่วนของ x ก็คือค่า x ที่ตัดตัวเลขหน้าจุดทศนิยมออกไป

มอดุโล

การดำเนินการมอดุโล (modulo) เขียนแทนด้วย x mod y สำหรับจำนวนจริง x และ y โดยที่ y ≠ 0 นิยามโดยสูตรนี้

${\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor }$

ผลลัพธ์ของ x mod y จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง y นั่นคือ

${\displaystyle y>0\Rightarrow 0\leq x\,{\bmod {\,}}y<y}$

${\displaystyle y<0\Rightarrow 0\geq x\,{\bmod {\,}}y>y}$

ถ้า x เป็นจำนวนเต็มและ y เป็นจำนวนเต็มบวก

${\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\equiv x{\pmod {y}}}$

ฟังก์ชัน x mod y โดยที่ y เป็นค่าคงตัว จะเป็นฟังก์ชันฟันเลื่อยเช่นกัน

การแลกเปลี่ยนกำลังสอง

การพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเกาส์ครั้งที่สาม ซึ่งปรับปรุงแก้ไขโดยไอเซนสไตน์ (Ferdinand Eisenstein) มีสองขั้นตอนพื้นฐานดังนี้ ^[18][19]

กำหนดให้ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคี่คนละตัวกัน และกำหนดให้

${\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},\;\;n={\frac {q-1}{2}}}$

ขั้นตอนแรก สัญลักษณ์เลอช็องดร์ถูกนำมาเขียนอธิบายด้วยบทตั้งของเกาส์

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }}$

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }}$

ขั้นตอนที่สองคือใช้การให้เหตุผลทางเรขาคณิตเพื่อที่จะแสดงว่า

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn}$

จากนั้นจึงเอาสูตรทั้งสองมารวมกัน ทำให้เกิดการแลกเปลี่ยนกำลังสอง

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}}$

สูตรต่อไปนี้เป็นการใช้ฟังก์ชันพื้นเพื่อแสดงลักษณะกำลังสองของจำนวนขนาดเล็ก มอดุโลกับจำนวนเฉพาะ p ^[20]

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor }}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }}$

การปัดเศษ

บทความหลัก: การปัดเศษ

การปัดเศษจำนวนบวก x ไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ใกล้ที่สุด จะใช้วิธีการปัดเศษโดยครึ่งหนึ่งให้ปัดขึ้นโดยปกติ สามารถเขียนได้เป็น ${\displaystyle \lfloor x+0.5\rfloor }$

จำนวนหลัก

จำนวนหลักของจำนวนเต็มบวก k ในฐาน b คำนวณได้จาก ${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1}$

ตัวประกอบของแฟกทอเรียล

กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกและ p เป็นจำนวนเฉพาะ (ซึ่งเป็นบวกเช่นกัน) กำลังสูงสุดของ p ที่สามารถหาร n! (แฟกทอเรียลของ n) ได้ลงตัว คำนวณได้จากสูตรนี้ ^[21]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots }$

ผลรวมของอนุกรมนี้จำกัด เนื่องจากฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เมื่อ p^k > n

ลำดับบีตตี

ลำดับบีตตี (Beatty sequence) ได้แสดงไว้ว่าจำนวนอตรรกยะที่เป็นบวกทุกจำนวน เมื่อผ่านฟังก์ชันพื้นแล้วจะเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนธรรมชาติซึ่งเป็นสมาชิกของลำดับสองลำดับคู่กัน ^[22]

ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี

สูตรที่ใช้แสดงค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี γ = 0.57721 56649 … ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นและเพดาน ตัวอย่างเช่น ^[23]

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }$

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

ฟังก์ชันภาคเศษส่วนปรากฏในการแจกแจงปริพันธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างตรงไปตรงมาด้วยการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน ^[24] โดยสมมติว่า φ (x) คือฟังก์ชันใด ๆ ที่มีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในช่วงปิด [a, b]

${\displaystyle {\sum _{a<n\leq b}\phi (n)=\int _{a}^{b}\phi (x)dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi '(x)dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (b)}}$

กำหนดให้ φ (n) = n^−s สำหรับส่วนจริงของ s ที่มากกว่า 1 และกำหนดให้ a, b เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง b มีค่าเข้าใกล้อนันต์ จะได้

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\;dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}}$

สูตรนี้สามารถใช้ได้กับทุกค่าของ s ที่มีส่วนจริงมากกว่า −1 (ยกเว้นเมื่อ s = 1 เพราะจุดนั้นเป็นโพล) และเมื่อรวมเข้ากับการกระจายฟูรีเยของ {x} จะทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันซีตาได้กับทั้งระนาบเชิงซ้อน และใช้สำหรับพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชัน ^[25]

สำหรับ s = σ + i t ภายในแถบวิกฤต (critical strip) เช่น 0 < σ < 1 Balthasar van der Pol ได้ใช้สูตรนี้เพื่อสร้างคอมพิวเตอร์แอนะล็อกสำหรับคำนวณรากของฟังก์ชันซีตาเมื่อ ค.ศ. 1974 ^[26]

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega }$

สูตรเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ

n จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ ^[27]

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2}$

กำหนดให้ r > 1 เป็นจำนวนเต็ม, p_n คือจำนวนเฉพาะตัวที่ n และ α ซึ่งนิยามโดย

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}}$

เราจะได้ว่า ^[28]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor }$

มีจำนวน θ = 1.3064… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ ${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$ เป็นจำนวนเฉพาะ ^[29]

และมีจำนวน ω = 1.9287800… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ ${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$ เป็นจำนวนเฉพาะ ^[30]

π (x) เป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ คือนับว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่เท่าไรที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ x ซึ่งเป็นการลดทอนมาจากทฤษฎีบทของวิลสันที่ว่า ^[31]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor }$

และถ้าหาก n ≥ 2 จะได้ ^[32]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor }$

แต่สูตรในส่วนนี้ที่กล่าวมาทั้งหมด ไม่มีการนำไปใช้จริงในทางปฏิบัติ

ข้อปัญหาที่แก้ได้

รามานุจันได้ส่งข้อปัญหาที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นเหล่านี้ลงใน Journal of the Indian Mathematical Society ^[33]

ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า

1. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor }$
2. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor }$
3. ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor }$

ข้อปัญหาที่แก้ไม่ได้

จากการศึกษาข้อปัญหาของวาริง ได้นำไปสู่ปัญหาที่ยังไม่สามารถแก้ได้จนปัจจุบัน นั่นคือ

จริงหรือไม่ที่จำนวนเต็มบวก k ใด ๆ โดยที่ k ≥ 6 ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง ^[34]

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2}$

เคิร์ต มาห์เลอร์ เคยพิสูจน์และสรุปว่า มีเพียงจำนวนจำกัดจำนวนหนึ่งเท่านั้นสำหรับ k ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น นอกเหนือจากนั้นยังไม่สามารถสรุปได้ ^[35]

การใช้งานในคอมพิวเตอร์

กราฟของการแปลงเป็นจำนวนเต็ม (int)

ภาษาโปรแกรม

ภาษาซี ภาษาซีพลัสพลัส และภาษาอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง (เช่นภาษาซีชาร์ป ภาษาจาวา) มีฟังก์ชันมาตรฐาน floor () สำหรับฟังก์ชันพื้น ^[36] และ ceil () สำหรับฟังก์ชันเพดาน ^[37]

นอกจากนี้ยังมีอีกวิธีการหนึ่งคือการแปลงจำนวนจุดลอยตัว (floating point) ไปเป็นจำนวนเต็มโดยการกำกับชนิดข้อมูล (int) value ซึ่งจะทำให้ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมถูกตัดออกไปทั้งหมด ไม่ว่าจำนวนนั้นจะเป็นบวกหรือลบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถูกปัดเศษไปยังค่าศูนย์ ^[38]

เชิงอรรถ

1. Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
2. Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
3. Lemmermeyer, pp. 10, 23
4. ตัวอย่างเช่น Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim ใช้สัญกรณ์ของเกาส์ ในขณะที่ Graham, Knuth & Patashnik และ Crandall & Pomerance ใช้สัญกรณ์ของอิเวอร์สัน
5. Higham, p. 25
6. Iverson
7. Sullivan, p. 86
8. Mathwords: Floor Function
9. Mathwords: Ceiling Function
10. Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
11. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 72
12. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85
13. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
14. Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
15. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 94
16. Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
17. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70
18. Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32-1.33
19. Hardy & Wright, §§ 6.11-6.13
20. Lemmermeyer, p. 25
21. Hardy & Wright, Th. 416
22. Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77-78
23. สูตรเหล่านี้มาจากบทความ ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี และยังมีอีกมาก
24. Titchmarsh, p. 13
25. Titchmarsh, pp.14-15
26. Crandall & Pomerance, p. 391
27. Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
28. Hardy & Wright, § 22.3
29. Ribenboim, p. 186
30. Ribenboim, p. 186
31. Ribenboim, p. 181
32. Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
33. Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
34. Hardy & Wright, p. 337
35. Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124
36. "สำเนาที่เก็บถาวร". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2009-03-18. สืบค้นเมื่อ 2009-09-24.
37. "สำเนาที่เก็บถาวร". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2009-03-29. สืบค้นเมื่อ 2009-09-24.
38. ISO standard for C, § 6.3.1.4, p. 43.

อ้างอิง

• J.W.S. Cassels (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press.
• Crandall, Richard; Pomeramce, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-04777-9 {{citation}}: ตรวจสอบค่า |isbn=: checksum (help)
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0198531715
• Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, p. 25
• ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999 (E) : Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
• Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66967-4 {{citation}}: ตรวจสอบค่า |isbn=: checksum (help)
• Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0821820766
• Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
• Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86
• Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (2nd ed.), Oxford: Oxford U. P., ISBN 0-19-853369-1

ดูเพิ่ม

• ฟังก์ชันจำนวนเต็มใกล้สุด
• ฟังก์ชันขั้นบันได