ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ในการส่งแบบเฉือน (shear mapping) ของภาพโมนาลิซา รูปถูกทำให้ผิดปกติในในทางแกนแนวยืนกึ่งกลางของมัน (เวกเตอร์สีแดง) ไม่เปลี่ยนทิศทาง แต่เวกเตอร์ทแยงมุม (สีน้ำเงิน) มีการเปลี่ยนทิศทาง ด้วยเหตุนี้เวกเตอร์สีแดงเป็น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ของการแปลง ขณะที่เวกเตอร์สีน้ำเงินนั้นไม่ใช่ เวกเตอร์สีแดงไม่มีการขยายหรือหดตัว ค่าลักษณะเฉพาะ ของมันจึงคือ 1 ทุกเวกเตอร์ที่มีทิศทางในแนวยืนที่เหมือนกัน เช่น ขนานกับเวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเหมือนกันที่มีค่าลักษณะเฉพาะค่าเดียวกัน พร้อมทั้งเวกเตอร์ศูนย์ จาก ปริภูมิลักษณะเฉพาะ สำหรับค่าลักษณะเฉพาะนี้

ในทางคณิตศาสตร์การแปลงเชิงเส้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (eigenvector) ของการแปลงเชิงเส้นนั้นต้องเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ที่เมื่อนำไปใช้ในการแปลงนั้นจะเปลี่ยนระยะแต่ไม่เปลี่ยนทิศทาง

สำหรับทุกเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้น จะมีค่าสเกลาร์ที่เรียกว่า ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) สำหรับเวกเตอร์นั้นซึ่งกำหนดผลรวมเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นมาตราส่วนภายใต้การแปลงเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น: ค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ +2 หมายความว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมีความยาวและจุดเป็นเท่าตัวในทิศทางเดิม, ค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ +1 หมายความว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะไม่มีการเปลี่ยนแปลง ในขณะที่ค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ −1 หมายความว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะมีทิศทางผันกลับ ปริภูมิลักษณะเฉพาะ (eigenspace) ของการแปลงที่ให้มาสำหรับค่าลักษณะเฉพาะเฉพาะส่วนเป็นเซต (ผลการแผ่เชิงเส้น (linear span)) ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ความความสัมพันธ์กับค่าลักษณะเฉพาะนี้ พร้อมทั้งเวกเตอร์ศูนย์ (ไม่มีทิศทาง)

ในพีชคณิตเชิงเส้น ทุก ๆ การแปลงเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์มิติอันตะ (finite-dimensional vector spaces) สามารถแสดงอยู่ในรูปของเมทริกซ์ ซึ่งเป็นแถวลำดับสี่เหลี่ยมของตัวเลขที่อยู่ในแถวและหลัก วิธีพื้นฐานสำหรับการหา ค่าลักษณะเฉพาะ, เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ปริภูมิลักษณะเฉพาะ ของเมทริกซ์จะกล่าวถึงอยู่ด้านล่าง

มันมีบทบาทหลักในหลาย ๆ สาขาของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ — เป็นส่วนสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น, การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน และเล็กน้อยในคณิตศาสตร์ไม่เป็นเชิงเส้น

วัตถุทางคณิตศาสตร์หลายชนิดสามารถเขียนอยู่ในรูปแบบเวกเตอร์ได้ เช่น ฟังก์ชัน, ฮาร์มอนิก, กลศาสตร์ควอนตัม และความถี่ ในกรณีนี้แนวคิดของ ทิศทาง โดยทั่วไปจะสูญเสียความหมายของมันไป และถูกให้นิยามที่เลื่อนลอย ดังนั้น ทิศทาง ที่ไม่มีตัวตนนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปลงเชิงเส้นที่ให้มา ถ้าใช้ "ไอเกน (eigen)" นำหน้า อย่างใน ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (eigenfunction), วิธีลักษณะเฉพาะ (eigenmode), สภาวะลักษณะเฉพาะ (eigenstate) และ ความถี่ลักษณะเฉพาะ (eigenfrequency)

ประวัติ

ค่าลักษณะเฉพาะถูกกล่าวถึงบ่อยครั้งในบริบทของพีชคณิตเชิงเส้นหรือทฤษฎีเมทริกซ์ ตามประวัติศาสตร์นั้นเกิดขึ้นมาจากการศึกษารูปแบบกำลังสอง (quadratic form) และสมการเชิงอนุพันธ์

ออยเลอร์ได้ศึกษาการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง (rigid body) และได้ค้นพบความสำคัญของเส้นแกนมุขสำคัญ ดังที่ลากร็องฌ์พิสูจน์ไว้ เส้นแกนมุขสำคัญนั้นเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ความเฉื่อย^[1] ในต้นศตวรรษที่ 19 โอกุสแต็ง หลุยส์ โกชีเห็นว่าวิธีของออยเลอร์และลากร็องฌ์สามารถใช้แยกประเภทผิวกำลังสอง และยังครอบคลุมไปถึงมิติสัมพัทธ์ (arbitrary dimensions)^[2] โคชีสร้างศัพท์ว่า racine caractéristique (รากลักษณะเฉพาะ) สำหรับใช้เรียกสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่า ค่าลักษณะเฉพาะ ศัพท์ของเขานั้นยังมีการใช้อยู่อยู่ในเรื่องสมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation)^[3]

กระบวนการทางจำนวนในการคำนวณหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1929 เมื่อ Von Mises ได้เสนอ power method. และวิธีที่ได้รับความนิยมมากในปัจจุบันคือ QR algorithm ถูกเสนอโดย John G.F. Francis^[4][5] และ Vera Kublanovskaya^[6] ในปี ค.ศ. 1961^[7]

บทนิยาม

สามารถเขียนเป็นสมการข้างล่างได้

${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$

โดยที่ ${\displaystyle A\,\!}$ คือเมทริกซ์มิติ n × n, ${\displaystyle \mathbf {x} }$ คือเวกเตอร์มิติ n × 1, และ ${\displaystyle \lambda \,\!}$ คือสเกลาร์ที่เรียกว่า ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue)

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะซ้ายและขวา

โดยทั่วไปเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนั้นจะหมายถึง เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะขวา ${\displaystyle x_{R}}$ ซึ่งสามารถแสดงได้ดังสมการค่าลักษณะเฉพาะ: ${\displaystyle Ax_{R}=\lambda _{R}x_{R}}$ ซึ่งเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ใช้กันโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะซ้าย ${\displaystyle x_{L}}$ ก็มีอยู่เช่นกัน และสามารถแสดงได้ดังสมการ: ${\displaystyle x_{L}A=\lambda _{L}x_{L}}$

สมการลักษณะเฉพาะ

เมื่อการแปลงแทนโดยเมทริกซ์จัตุรัส A, สมการค่าลักษณะเฉพาะสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle A\mathbf {x} -\lambda I\mathbf {x} =\mathbf {0} }$

สามารถจัดใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {x} =\mathbf {0} }$

ถ้าเมทริกซ์ผกผันมีจริงจะได้

${\displaystyle (A\ -\lambda I)^{-1}}$

นำเมทริกซ์ผกผันมาคูณทั้งสองข้างเพื่อให้ได้: x = 0 ดังนั้น เราต้องการให้มันที่ไม่อยู่ในรูปเมทริกซ์ผกผันโดยสมมติจากพีชคณิตเชิงเส้นว่าดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์:

${\displaystyle \det(A\ -\lambda I)=0}$

ดีเทอร์มิแนนต์ที่ต้องการเรียกว่า สมการลักษณะเฉพาะ (secular equation) ของ A, และด้านซ้ายมือเรียกว่า พหุนามลักษณะเฉพาะ (characteristic polynomial) ซึ่งจะให้สมการพหุนามสำหรับหาค่า ${\displaystyle \lambda }$ ส่วนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ x หรือส่วนประกอบของมันไม่แสดงในสมการลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่าง

คลิก [แสดง] เพื่อดูตัวอย่างเพิ่มเติม

• ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$ และ ${\displaystyle \lambda =3}$ เป็น คู่ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ค่าลักษณะเฉพาะ ของ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ เพราะว่า ${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}}=3\cdot {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\lambda \mathbf {x} }$

• ${\displaystyle \mathbf {x} =[2;2]}$ และ ${\displaystyle \lambda =6}$, ${\displaystyle \mathbf {x} =[3;3]}$ และ ${\displaystyle \lambda =9}$, ..., ${\displaystyle \mathbf {x} =a\cdot [1;1]}$ และ ${\displaystyle \lambda =3\cdot a}$ (เมื่อ ${\displaystyle a=0}$) ต่างก็เป็นคู่ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ค่าลักษณะเฉพาะ ของ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\2/3\end{bmatrix}}}$ และ ${\displaystyle \lambda =4}$ (รวมถึง ${\displaystyle \mathbf {x} =a\cdot {\begin{bmatrix}1\\2/3\end{bmatrix}}}$ และ ${\displaystyle \lambda =4\cdot a}$ (เมื่อ ${\displaystyle a=0}$) ก็เป็น คู่ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ค่าลักษณะเฉพาะของ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ เช่นกัน

---

เมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}}$

นิยามการแปลงเชิงเส้นของระนาบจำนวนจริง ค่าลักษณะเฉพาะของการแปลงนี้ได้มาโดยสมการลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{bmatrix}}=(2-\lambda )^{2}-1=0}$

รากของสมการนี้คือ ${\displaystyle \lambda =1}$ และ ${\displaystyle \lambda =3}$ เมื่อได้ค่าลักษณะเฉพาะ เราจะสามารถหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะได้ พิจารณาค่าลักษณะเฉพาะ ${\displaystyle \lambda =3}$ จะได้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

แถวทั้งคู่ของสมการเมทริกซ์นี้จะลดรูปเหลือสมการเชิงเส้นเดี่ยว ${\displaystyle x=y}$ ในการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เราสามารถเลือกค่าอะไรก็ได้มาแทนค่า x, ดังนั้นเลือก x=1 จาก y=x, เราจะได้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็น

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

เราสามารถตรวจสอบว่าเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะหรือไม่โดย :${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}}}$

เมื่อค่าลักษณะเฉพาะ: ${\displaystyle \lambda =1,}$ ทำแบบเดิมจะได้สมการ ${\displaystyle x=-y}$, ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะได้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$

ปัญหาจุกจิกในการหาราก/ค่าลักษณะเฉพาะของพหุนามลักษณะเฉพาะ (characteristic polynomial) ที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในส่วนองศาของพหุนาม (มิติของปริภูมิเวกเตอร์) ที่เพิ่มขึ้น มีวิธีที่เที่ยงตรงสำหรับมิตที่ต่ำกว่า 5 แต่สำหรับมิติที่สูงขึ้นยังไม่มีวิธีที่แน่นอนและมีการอาศัยวิธีทางจำนวนเพื่อหาค่าประมาณ สำหรับเมทริกซ์มากเลขศูนย์ (sparse matrix) สมมาตรขนาดใหญ่ได้ใช้ขั้นตอนวิธี Lanczos คำนวณหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

อ้างอิง

1. See Hawkins 1975, §2 harvnb error: no target: CITEREFHawkins1975 (help)
2. See Hawkins 1975, §3 harvnb error: no target: CITEREFHawkins1975 (help)
3. See Kline 1972, pp. 807-808 harvnb error: no target: CITEREFKline1972 (help)
4. J.G.F. Francis, "The QR Transformation, I" (part 1), The Computer Journal, vol. 4, no. 3, pages 265-271 (1961); "The QR Transformation, II" (part 2), The Computer Journal, vol. 4, no. 4, pages 332-345 (1962).
5. John G.F. Francis (1934 - ), devised the “QR transformation” for computing the eigenvalues of matrices. Born in London in 1934, he presently (2007) resides in Hove, England (near Brighton). In 1954 he worked for the National Research Development Corporation (NRDC). In 1955-1956 he attended Cambridge University. He then returned to the NRDC, where he served as assistant to Christopher Strachey. At this time he devised the QR transformation. In 1961 he left the NRDC to work at Ferranti Corporation, Ltd. and then at the University of Sussex. Subsequently, he had positions with various industrial organizations and consultancies. His interests encompassed artificial intelligence, computer languages, and systems engineering. He is currently retired. (See: http://www-sbras.nsc.ru/mathpub/na-net/db/showfile.phtml?v07n34.html#1 เก็บถาวร 2009-03-02 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน .)
6. Vera N. Kublanovskaya, "On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem" USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 3, pages 637–657 (1961). Also published in: Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, vol.1, no. 4, pages 555–570 (1961).
7. See Golub & van Loan 1996, §7.3 harvnb error: no target: CITEREFGolubvan_Loan1996 (help); Meyer 2000, §7.3 harvnb error: no target: CITEREFMeyer2000 (help)

แหล่งข้อมูลอื่น

• MIT Video Lecture on Eigenvalues and Eigenvectors เก็บถาวร 2008-12-20 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• ARPACK เก็บถาวร 2009-02-24 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน is a collection of FORTRAN subroutines for solving large scale (sparse) eigenproblems.
• IRBLEIGS, has MATLAB code with similar capabilities to ARPACK. (See this paper for a comparison between IRBLEIGS and ARPACK.)
• LAPACK is a collection of FORTRAN subroutines for solving dense linear algebra problems
• ALGLIB includes a partial port of the LAPACK to C++, C#, Delphi, etc.
• Eigenvalue (of a matrix) on PlanetMath
• MathWorld: Eigenvector
• Online calculator for Eigenvalues and Eigenvectors
• Online Matrix Calculator เก็บถาวร 2008-12-12 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน Calculates eigenvalues, eigenvectors and other decompositions of matrices online
• Vanderplaats Research and Development - Provides the SMS eigenvalue solver for Structural Finite Element. The solver is in the GENESIS program as well as other commercial programs. SMS can be easily use with MSC.Nastran or NX/Nastran via DMAPs.
• What are Eigen Values? from PhysLink.com's "Ask the Experts"
• Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems Edited by Zhaojun Bai, James Demmel, Jack Dongarra, Axel Ruhe, and Henk van der Vorst (a guide to the numerical solution of eigenvalue problems)