การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

วิถีการเคลื่อนที่ของน้ำแบบพาราโบลา

ส่วนประกอบของความเร็วต้นของการโยนแบบพาราโบลา

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (อังกฤษ: Projectile motion) เป็นรูปแบบหนึ่งของการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นจากวัตถุหรืออนุภาค (โพรเจกไทล์) ซึ่งอยู่ในสนามโน้มถ่วง เช่น จากพื้นผิวโลก วัตถุเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้ง ภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วงเท่านั้น การคำนวณส่วนใหญ่มักจะละเว้นผลกระทบของแรงต้านอากาศเป็น

วิถีของโพรเจกไทล์ที่ลอยขึ้นไปในอากาศในความเร็วต้นที่แตกต่างกัน(พิจารณาแรงต้านอากาศ)

ความเร็วเริ่มต้น

เมื่อปล่อยให้โปรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้น ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$ ซึ่งสามารถแยกเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร็วได้ดังต่อไปนี้

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {i} +v_{0y}\mathbf {j} }$

องค์ประกอบ ${\displaystyle v_{0x}}$ และ ${\displaystyle v_{0y}}$ สามารถหาได้เมื่อทราบมุมเริ่มต้น ${\displaystyle \theta }$ ดังนี้

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos \theta }$ และ

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin \theta }$

ปริมาณจลนพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ในปี ค.ศ. 1638 กาลิเลโอ กล่าวในหนังสือ Two New Sciences ว่าสำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น การเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่งและแนวราบจะเป็นอิสระต่อกัน^[1]

ความเร่ง

สำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเกิดความเร่งเฉพาะการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเท่านั้น ส่วนแนวราบความเร็วจะคงตัวมีค่าเท่ากับ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของวัตถุจะเป็นการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ โดยมีความเร่งคงตัว ${\displaystyle g}$^[2] องค์ประกอบของความเร่งคือ

${\displaystyle a_{x}=0}$ และ

${\displaystyle a_{y}=-g}$

ความเร็ว

องค์ประกอบของความเร็วในแนวราบของวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของความเร็วในแนวตั้งจะเพิ่มขึ้นแบบเชิงเส้นเพราะมีความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงที่มีค่าคงที่ องค์ประกอบของความเร็วทั้งในทิศทาง x และ y สามารถรวมกันเพื่อแก้ปัญหาองค์ประกอบของความเร็ว ณ เวลา ${\displaystyle t}$ ได้ดังนี้

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos(\theta )}$ และ

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt}$

ขนาดของความเร็ว (ภายใต้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\ }}}$

การกระจัด

การกระจัดและพิกัดของการโยนแบบพาราโพลา

ณ เวลา ${\displaystyle t}$ ใด ๆ การกระจัดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวราบและแนวดิ่งคือ

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$ และ

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

ขนาดของการกระจัดคือ

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}\ }}}$

พิจารณาสมการ

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$ และ

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

ถ้า ${\displaystyle t}$ ถูกกำจัดออกระหว่างทั้งสองสมการ จะได้

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}}$

เมื่อ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \theta }$ และ ${\displaystyle v_{0}}$ เป็นค่าคงที่ สมการข้างต้นจะอยู่ในรูป

${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$

ซึ่ง ${\displaystyle a}$ และ ${\displaystyle b}$ เป็นค่าคงที่ สมการนี้เป็นสมการพาราโบลา ดังนั้นเส้นทางการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จึงเป็นรูปพาราโบลา ถ้าทราบตำแหน่ง (x,y) ของโพรเจกไทล์ และมุมยิง (${\displaystyle \theta }$ หรือ ${\displaystyle r}$) ความเร็วเริ่มตั้น ${\displaystyle v_{0}}$ สามารถหาได้จากการแก้สมการพาราโบลาข้างต้น ได้เป็น

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่

เวลาทั้งหมดที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศหาได้จากสมการ

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

หลังจากที่วัตถุถูกยิงออกไปและตกกลับลงมาบนพื้นอีกครั้ง (แกน x) ดังนั้น ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt}$

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$

ในที่นี้จะไม่สนใจแรงต้านของอากาศที่กระทำต่อวัตถุ

ถ้าจุดเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่ง ${\displaystyle y_{0}}$ เมื่อเทียบกับจุดตก เวลาที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศ คือ

${\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

สมการข้างต้นสามารถลดรูปเป็น

${\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {v\sin {\theta }+v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {(45)}}{g}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{g}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{g}}}$

ถ้า ${\displaystyle \theta }$ = 0 และ ${\displaystyle y_{0}}$ = 0

ระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่

ความสูงที่สูงที่สุดของโพรเจกไทล์

จุดที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปได้เป็นระยะสูงที่สุดก่อนที่จะตกกลับลงมา เรียกว่า จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ จุดนี้ องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่ง ${\displaystyle v_{y}=0}$ นั้นคือ

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ไปถึงจุดสูงสุด

${\displaystyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$

จากการกระจัดที่สูงที่สุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2g}}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างระยะไกลสุดกับระยะสูงสุด

ความสัมพันธืระหว่างระยะไกลสุดบนแนวราบ ${\displaystyle R}$ กับระยะสูงสุด ${\displaystyle h}$ ที่ ${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$ เป็น

${\displaystyle h={\frac {R\tan \theta }{4}}}$

พิสูจน์

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}}$

${\displaystyle R={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

${\displaystyle {\frac {h}{R}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}}$ × ${\displaystyle {\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {h}{R}}={\frac {\sin ^{2}\theta }{4\sin \theta \cos \theta }}}$

${\displaystyle h={\frac {R\tan \theta }{4}}}$.

พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

บทความหลัก: พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ระยะทางที่ไกลที่สูงของโพรเจกไทล์

ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มวลของวัตถุจะไม่ส่งผลต่อระยะไกลสุดตามแนวราบและระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่ เมื่อขว้างวัตถุออกไปด้วยความเร็วและทิศทางเดียวกัน ระยะไกลสุดตามแนวราบของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เรียกว่า"พิสัย" ${\displaystyle d}$ คือ ระยะทางตามแนวราบจากจุดที่ขว้างวัตถุออกไปจนถึงจุดที่วัตถุตกกลับลงมาที่ตำแหน่งความสูงเริ่มต้น ${\displaystyle (y=0)}$

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$

เวลาเมื่อตกถึงพื้น

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$

จากการเคลื่อนที่ในแนวราบ ระยะทางของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็น

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$

ดังนั้น^[3]

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin(2\theta )}$

${\displaystyle d}$ จะมีค่าสูงสุดเมื่อ

${\displaystyle \sin 2\theta =1}$

ซึ่งสอดคล้องกับ

${\displaystyle 2\theta =90^{\circ }}$

หรือ

${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$

Trajectories of projectiles launched at different elevation angles but the same speed of 10 m/s in a vacuum and uniform downward gravity field of 10 m/s². Points are at 0.05 s intervals and length of their tails is linearly proportional to their speed. t = time from launch, T = time of flight, R = range and H = highest point of trajectory (indicated with arrows).

ระยะทางในแนวราบ ${\displaystyle d}$ ที่เคลื่อนที่ได้

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)}$

เมื่อพื้นเรียบ (ความสูงเริ่มต้น (${\displaystyle y_{0}=0}$)) ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}}$

ดังนั้นวัตถุจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางไกลที่สุด เมื่อ ${\displaystyle \theta }$ มีค่าเท่ากับ 45 องศา

${\displaystyle d={\frac {v^{2}}{g}}}$

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทงานและพลังงาน

ตามทฤษฎีงานและพลังงาน องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่งคือ

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$

สมการเหล่านี้จะไม่พิจารณาแรงต้านของอากาศ และถือว่าพื้นเป็นพื้นราบเรียบ

อ้างอิง

1. Galileo Galilei, Two New Sciences ', Leiden, 1638, p.249
2. The ${\displaystyle g}$ คือ ความเร่งโน้มถ่วง. (${\displaystyle 9.81m/s^{2}}$ ที่ผิวโลก).
3. ${\displaystyle 2\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\sin(2\alpha )}$