ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในการวิเคราะห์เชิงจริง ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับในปริภูมิยูคลิเดียน Rⁿ โดยกล่าวว่า ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rⁿ จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า^[1] อีกนัยหนึ่งคือ สับเซตของ Rⁿ จะเป็นเซตกระชับเชิงลำดับ (sequentially compact) ก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและมีขอบเขต^[2] ทฤษฎีบทนี้บางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบทความกระชับเชิงลำดับ^[3]

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตาม แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส

ประวัติความเป็นมาและความสำคัญ

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราสตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส โดยพิสูจน์ครั้งแรกได้โดยบ็อลท์ซาโนในปี ค.ศ. 1817 ใช้เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง ประมาณห้าสิบปีต่อมา ไวเออร์ชตราสเห็นว่าทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในตัวมันเองและพิสูจน์ได้อีกครั้งหนึ่ง นับแต่นั้นมาจึงได้กลายเป็นทฤษฎีบทสำคัญในคณิตวิเคราะห์

ข้อความ

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สำหรับ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ — ทุกลำดับมีขอบเขตใน Rⁿ จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้า

พิสูจน์

ก่อนอื่นเราพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สำหรับ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ (เซตของจำนวนจริง) ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้การเรียงลำดับของจำนวนจริงบน ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ได้ ทำให้ได้บทตั้งต่อไปนี้

บทตั้ง — ทุกลำดับอนันต์ ${\displaystyle (x_{n})}$ ใน ${\displaystyle \mathbb {R} }$ มีลำดับย่อยที่เป็นลำดับทางเดียว

พิสูจน์ —

เราจะเรียกดัชนีค่าบวก ${\displaystyle n}$ ของลำดับว่าเป็น จุดพีค ของลำดับ ก็ต่อเมื่อเมื่อ ${\displaystyle x_{m}<x_{n}}$ สำหรับทุก ${\displaystyle m>n}$ สมมุติว่าลำดับมีจุดพีคเป็นอนันต์ แปลว่ามีลำดับย่อยที่สร้างจากดัชนี${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dots <n_{j}<\dots }$ และสอดคล้องกับเงื่อนไขว่า ${\displaystyle x_{n_{1}}>x_{n_{2}}>x_{n_{3}}>\dots >x_{n_{j}}>\dots }$ . ดังนั้น ลำดับอนันต์ ${\displaystyle (x_{n})}$ ใน ${\displaystyle \mathbb {R} }$ มีลำดับทางเดียวคือ ${\displaystyle (x_{n_{j}})}$ นั้น

แต่ถ้าลำดับมีจุดพีคเพียงจำนวนจำกัดตัว ให้ ${\displaystyle N}$ เป็นจุดพีคสุดท้ายของลำดับ จากนั้นพิจารณาลำดับย่อย ${\displaystyle (x_{n_{j}})}$ ที่มีดัชนีตัวแรกคือ ${\displaystyle n_{1}=N+1}$ จะเงื่อนไขได้ว่า ${\displaystyle n_{1}}$ ไม่เป็นจุดพีค เพราะ ${\displaystyle n_{1}}$ มาทีหลังจุดพีคสุดท้ายที่เป็นไปได้ ดังนั้นจะต้องมี ${\displaystyle n_{2}}$ ที่ซึ่ง ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$ และ ${\displaystyle x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}}$

เช่นกัน จาก ${\displaystyle n_{2}}$ มาทีหลังจุดพีคสุดท้าย จะต้องมี ${\displaystyle n_{3}}$ ที่ซึ่ง ${\displaystyle n_{2}<n_{3}}$ และทำให้ ${\displaystyle x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}}$ ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ลำดับไม่ลด ${\displaystyle x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots }$ ซึ่งเป็นลำดับย่อยของ ${\displaystyle (x_{n})}$ ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าทุกลำดับอนันต์ ${\displaystyle (x_{n})}$ ใน ${\displaystyle \mathbb {R} }$ มีลำดับย่อยทางเดียว^[4]

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส สมมติว่า ${\displaystyle (x_{n})}$ เป็นลำดับมีขอบเขต ใน ${\displaystyle \mathbb {R} }$ โดยบทตั้งข้างต้นจะมีลำดับย่อยทางเดียวซึ่งแน่นอนว่าจะต้องมีขอบเขตด้วย จากทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียวลำดับย่อยนั้นต้องลู่เข้า

สำหรับกรณีทั่วไป (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) จะพิสูจน์ได้ดังนี้ กำหนดลำดับมีขอบเขตใน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ลำดับที่ได้จากพิกัดตัวแรกจะเป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขต ดังนั้นจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าจากผลข้างต้น จากนั้นเราสามารถหาลำดับย่อของลำดับย่อยนั้นที่พิกัดที่สองลู่เข้า ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนครบจำนวนพิกัด ${\displaystyle n}$ ครั้ง จะได้ลำดับย่อยของลำดับเดิมที่สมาชิกในแต่ละคู่อันดับลู่เข้า ดังนั้นลำดับย่อยนี้ลู่เข้า

บทพิสูจน์แบบอื่น

ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส์มีบทพิสูจน์อีกหลายแบบ ตัวอย่างด้านล่างใช้การแบ่งครึ่งช่วง^[5] เราเริ่มต้นด้วยลำดับที่มีขอบเขต ${\displaystyle (x_{n})}$ :

• 
  เพราะ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ มีขอบเขต ลำดับนี้จึงมีขอบเขตล่าง ${\displaystyle s}$ และขอบเขตบน ${\displaystyle S}$ .
• 
  เราใช้ ${\displaystyle I_{1}=[s,S]}$ เป็นช่วงแรกในการพิสูจน์
• 
  จากนั้นแบ่ง ${\displaystyle I_{1}}$ ออกเป็นสองช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันที่กึ่งกลาง
• 
  เนื่องจากลำดับ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ เป็นจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ จะต้องมี (อย่างน้อย) หนึ่งในสองช่วงย่อยที่มีสมาชิกเป็นอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงที่สอง ${\displaystyle I_{2}}$
• 
  จากนั้นเราก็แบ่ง ${\displaystyle I_{2}}$ อีกครั้งให้เป็นช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากันสองช่วง
• 
  เช่นกัน ในช่วงย่อยเหล่านี้จะมีช่วงย่อยอย่างน้อยหนึ่งอันที่มีสมาชิกของ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ อยู่เป็นจำนวนอนันต์ เราให้ช่วงย่อยนี้เป็นช่วงย่อยที่สาม ${\displaystyle I_{3}}$
• 
  เราดำเนินการตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ช่วงย่อยที่ซ้อนกันเป็นอนันต์ (${\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\dotsb }$)

เนื่องจากเราลดความยาวของช่วงลงครึ่งหนึ่งในแต่ละขั้นตอน ลิมิตของความยาวช่วงจึงเป็นศูนย์ โดยทฤษฎีบทช่วงซ้อน ซึ่งกล่าวว่าว่าถ้า ${\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }=([a_{n},b_{n}])_{n\in \mathbb {N} }}$ เป็นลำดับของช่วงปิดที่มีขอบเขต (โดยที่ ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$) แล้วอินเตอร์เซคชัน ${\textstyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ จะไม่เป็นเซตว่าง เราจะพิสูจน์ว่า ${\textstyle x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}$ เป็นจุดเกาะกลุ่มของ ${\displaystyle (x_{n})}$

กำหนดย่านใกล้เคียง ${\displaystyle U}$ ของ ${\displaystyle x}$ ใด ๆ มา เนื่องจากความยาวของช่วงลู่เข้าสู่เป็นศูนย์ จึงมีช่วง${\displaystyle I_{N}}$ ที่เป็นสับเซตแท้ของ ${\displaystyle U}$ เนื่องจาก ${\displaystyle I_{N}}$ บรรจุสมาชิกของ ${\displaystyle (x_{n})}$ เป็นจำนวนอนันต์จากการสร้าง และ ${\displaystyle I_{N}\subseteq U}$, ดังนั้น ${\displaystyle U}$ บรรจุสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วนของลำดับ ${\displaystyle (x_{n})}$ทำให้ได้ว่า ${\displaystyle x}$ เป็นจุดเกาะกลุ่มของ ${\displaystyle (x_{n})}$ ดังนั้นจึงมีลำดับย่อยของ ${\displaystyle (x_{n})}$ ที่ลู่เข้า ${\displaystyle x}$

ดูเพิ่ม

• ปริภูมิกระชับเชิงลำดับ
• ทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรล
• ความบริบูรณ์ของจำนวนจริง
• หลักการแปรผันของเอเคอลองด์

อ้างอิง

1. Bartle and Sherbert 2000, p. 78 (for R).
2. Fitzpatrick 2006, p. 52 (for R), p. 300 (for Rⁿ).
3. Fitzpatrick 2006, p. xiv.
4. Bartle and Sherbert 2000, pp. 78-79.
5. Garling 2013, pp. 94-95

บรรณานุกรม

• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis (3rd ed.). New York: J. Wiley.
• Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.
• Garling, D. J. H. (2013). A course in mathematical analysis. Volume 1, Foundations and elementary real analysis. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-31469-6. OCLC 842256400.
• Pugh, C. C. (2015). Real mathematical analysis (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-17771-7. OCLC 915757451.