การวิเคราะห์เชิงจริง

ในภาพเป็นตัวอย่างลำดับที่ลู่เข้า ซึ่งเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงจริง

ในวิชาคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์เชิงจริง (อังกฤษ: Real analysis) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตวิเคราะห์ ที่ศึกษาสมบัติของจำนวนจริง ลำดับและอนุกรมที่มีพจน์เป็นจำนวนจริง^[1] ตลอดจน ฟังก์ชันค่าจริง แนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องได้แก่ การลู่เข้า ลิมิต ความต่อเนื่อง การหาอนุพันธ์ได้ และ การหาปริพันธ์ได้

หัวข้อในการวิเคราะห์เชิงจริง

การลู่เข้าและลิมิต

บทความหลัก: ลิมิต

ลำดับคือฟังก์ชันจากเซตจำนวนนับไปยังเซตอื่น ในส่วนสาขาการวิเคราะห์เชิงจริงเราสนใจลำดับที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง ซึ่งอาจมองได้เป็นการเขียนจำนวนจริง ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc }$ เรียงกันต่อไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด^[2]

ตัวอย่างเช่น ลำดับของค่าประมาณของ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ สามารถเขียนได้เป็น

${\displaystyle 1.4,1.41,1.414,\dotsc }$

โดยที่พจน์ที่ ${\displaystyle i}$ จะเท่ากับค่าของ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ จนถึงทศนิยมตัวที่ ${\displaystyle i}$ ซึ่งจะเห็นได้ว่าสมาชิกแต่ละตัวในลำดับนี้มีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ มากขึ้นเรื่อย ๆ ซึ่งสามารถนิยามให้รัดกุมในทางคณิตศาสตร์ได้ เราเรียกค่าที่ลำดับเข้าใกล้มากขึ้นเรื่อย ๆ ว่า ลิมิต ตัวอย่างเช่น ลิมิตของลำดับข้างต้นคือ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ นอกจากนี้เรายังสามารถพิจารณาลิมิตของลำดับประเภทอื่นได้ เช่น ลิมิตของอนุกรม และลิมิตของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทในสาขาการวิเคราะห์เชิงจริงที่เกี่ยวข้องกับลิมิต เช่น ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน-ไวเออร์ชตราส

ความต่อเนื่อง

บทความหลัก: ฟังก์ชันต่อเนื่อง

ฟังก์ชันจากเซตของจำนวนจริงไปยังเซตของจำนวนจริงสามารถเขียนเป็นกราฟบนระบบพิกัดฉากได้ เราจะเรียกฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (ในมุมมองง่าย ๆ) ถ้ากราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นต่อเนื่องเส้นเดียว และไม่ "ขาด" หรือ "กระโดด" แยกจากกัน ความพยายามที่จะนิยามแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องข้างต้นให้รัดกุมในเชิงคณิตศาสตร์ส่งผลให้ แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน และ คาร์ล ไวเออร์ชตราส สร้างบทนิยามลิมิตแบบ (ε, δ) ขึ้นมา^[3]

นิยามของความต่อเนื่องในทางคณิตศาสตร์มีดังนี้ ให้ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ เป็นเซตใด ๆ และ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ เป็นฟังก์ชันใด ๆ จะกล่าวว่า ${\displaystyle f}$ ต่อเนื่องที่จุด ${\displaystyle p\in X}$ ถ้าสำหรับ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ใด ๆ จะมี ${\displaystyle \delta >0}$ ที่ทำให้สำหรับทุก ${\displaystyle x\in X}$ ที่ซึ่ง ${\displaystyle \left\vert x-p\right\vert <\delta }$ แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle \left\vert f(x)-f(p)\right\vert <\varepsilon }$

เมื่อ ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วจะมีสมบัติมากมายตามมาจากทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง เช่น ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง และทฤษฎีบทค่าขีดสุด เป็นต้น

อนุพันธ์และปริพันธ์

บทความหลัก: อนุพันธ์ และ ปริพันธ์

อ้างอิง

1. Laczkovich, Miklós. Real analysis : foundations and functions of one variable (First English ed.). New York. ISBN 978-1-4939-4222-0.
2. Stewart, Ian. The foundations of mathematics (Second ed.). Oxford. ISBN 9780198706434.
3. Grabiner, Judith V. (March 1983). "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus". The American Mathematical Monthly. 90 (3): 185. doi:10.2307/2975545.