Rayleighkriteriet

Två punktformiga ljuskällor på vinkelavståndet ${\displaystyle 2\theta }$ (överst), ${\displaystyle \theta }$ (i mitten) precis uppfyllande rayleighkriteriet och ${\displaystyle \theta /2}$ (underst) för instrumentet genom vilket de betraktas. Ljusförhållandena i bilderna är överdivna, men, om du kisar med ögoen...

Rayleighkriteriet är inom optiken det vanligaste villkoret som används för att beskriva ett optiskt instruments upplösningsförmåga. Det säger att: Två punktformiga ljuskällor är enligt rayleighkriteriet individuellt urskiljbara (genom en cirkulär apertur) om vinkelavståndet mellan dem överstiger ${\displaystyle \theta }$ definierat genom:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {k\cdot \lambda }{D}},\qquad k\approx 1,2197}$^[1]

där ${\displaystyle \lambda }$ är ljusets våglängd^[2] och ${\displaystyle D}$ är diametern för instrumentets apertur. Med approximationen ${\displaystyle \sin x\approx x}$ (i radianer) för små vinklar får vi:

${\displaystyle \theta \approx {\frac {1,22\cdot \lambda }{D}}}$ radianer.

Denna definition används för instrument med objekt på långt avstånd, som teleskop, och för ett teleskop är upplösningen i bågsekunder för ljus av våglängden 550 nm ungefär lika med (objektivdiametern angiven i mm)^[3]

${\displaystyle \theta _{550nm}\approx {\frac {138}{D_{mm}}}}$ bågsekunder.

På motsvarande sätt är två punktformiga ljuskällor urskiljbara om det linjära avståndet mellan dem överstiger:

${\displaystyle d={\frac {1,22\cdot \lambda }{2\cdot n\cdot \sin \phi }}={\frac {0,61\cdot \lambda }{NA}}}$

där ${\displaystyle n}$ är brytningsindex för mediet mellan ljuskällorna och aperturen^[2], medan ${\displaystyle \phi ={\frac {\theta }{2}}}$ är halva aperturvinkeln och sålunda är ${\displaystyle n\cdot \sin \phi =NA}$ instrumentets numeriska apertur. Denna senare variant av kriteriet används för mikroskop.^[4]

Historisk bakgrund

Kriteriet uppställdes av Lord Rayleigh 1879 i Investigations in Optics, with special reference to the Spectroscope.^[5] Det bygger på undersökningar gjorda av George Biddell Airy som presenterades den 24 november 1834 och publicerades i On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture 1835^[6] och på studier av mikroskopets upplösning utförda av Ernst Abbe på 1870-talet^[7].

Abbe utgick från ett diffraktionsgitter med parallella linjer^[8] och fick ur gitterformeln

${\displaystyle d\cdot n\cdot \sin \phi _{m}=m\cdot \lambda }$,

där ${\displaystyle m}$ betecknar diffraktionslinjens ordning, att det första minimat låg vid ${\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}(\Rightarrow m={\frac {1}{2}})}$ vilket gav Abbes diffraktionsgräns:

${\displaystyle d={\frac {\lambda }{2}}\cdot {\frac {1}{n\cdot \sin \phi }}={\frac {\lambda }{2\cdot NA}}}$.

Rayleigh utgick i stället från diffraktionsmönstret från en cirkulär apertur, vilket Airy hade behandlat matematiskt, och placerade det centrala maximat i det radiärsymmetriska diffraktionsmönstret för den ena ljuskällan i det första minimat för den andra ljuskällan, vilket ger rayleighkriteriet (vars upplösningsgräns alltså är 22 % större än Abbes).

Andra upplösningskriterier

Utöver Rayleighs och Abbes definitioner, vilka behandlas ovan, har även andra kriterier definierats.^[3][9]

Utifrån observationer av dubbelstjärnor genom teleskop med olika apertur kom William Rutter Dawes empiriskt fram till att två stjärnor (av magnitud 6) var precis separerbara om deras vinkelavstånd var 4,56 bågsekunder och aperturdiametern var en tum:

${\displaystyle \theta _{Dawes}={\frac {4,56}{D_{tum}}}\approx {\frac {116}{D_{mm}}}}$ bågsekunder.^[10]

Dawes upplösningsgräns angiven i bågsekunder används ofta för teleskop. Om vi antar en våglängd på 550 nm och räknar om till radianer och meter motsvarar Dawes upplösningsgräns således:

${\displaystyle \theta _{Dawes}\approx {\frac {1,02\cdot \lambda }{D}}}$ radianer

1916 publicerade Carroll Mason Sparrow ett kriterium som byggde på det avstånd där den sammanlagda intensitetskurvan (för de båda punkterna längs deras sammanbindningslinje) precis spricker upp i två toppar, och enligt Sparrow är ett instruments egentliga upplösningsförmåga därför högre än vad rayleighkriteriet anger.^[11] Sparrows kriterium anger den objektivt teoretiskt möjliga upplösningsgränsen (som inte är beroende av ögats upplösningsförmåga).^[12] Sparrowkriteriet lyder:

${\displaystyle \theta _{Sparrow}\approx {\frac {0,96\cdot \lambda }{D}}}$ radianer ${\displaystyle \approx {\frac {107}{D_{mm}}}}$ bågsekunder

${\displaystyle d_{Sparrow}\approx {\frac {0,48\cdot \lambda }{NA}}}$

Enligt "Schusters kriterium", uppkallat efter Sir Arthur Schuster^[13], är de båda ljuskällorna separerade först när deras respektive intensitetskurvors första minima sammanfaller, det vill säga på det dubbla avståndet gentemot rayleighkriteriet, sålunda:

${\displaystyle \theta _{Schuster}=2\cdot \theta \approx {\frac {2,44\cdot \lambda }{D}}}$ radianer

Vid gränsen för Houstonkriteriet (efter William Vermillion Houston^[14]) är avståndet mellan ljuskällorna lika med bredden på intensitetskurvan från en av ljuskällorna vid dess halva topphöjd och det kallas därför även "Full-Width-at-Half-Maximum" (FWHM)^[3]:

${\displaystyle \theta _{Houston}\approx {\frac {1,03\cdot \lambda }{D}}}$ radianer

Referenser och noter

• Colins Sheppard, kapitel 5: Diffraction optics, särskilt avsnitten 5.4 (sid. 4/48), 5.4.3 (sid. 6/48) och 5.17.1 (sid 46/48), i D.A. Boas, C. Pitris & N. Ramanujan (eds.), 2011, Handbook of Biomedical Optics. ISBN 1420090364.
• Rudolf Gross, 2003, Physik III – Optik und Quantenphänomene, Vorlesungsskript, Walther-Meissner-Institut und TU-München, kapitel 7 – Abbildungstheorie, sid. 317–344.

1. Decimalutveckling återfinns på OEIS: talföljd A245461.
2. ^ [ ] Våglängden är beroende av brytningsindex för mediet enligt ${\displaystyle {\frac {\lambda _{medium}}{n_{vakuum}}}={\frac {\lambda _{vakuum}}{n_{medium}}}}$, men ${\displaystyle n_{luft}=1,00029\approx 1=n_{vakuum}}$ (vid STP) och eftersom exempelvis teleskop normalt används i luft (och astronomiska objekt sänder ut sitt ljus i, näranog, vakuum) förekommer inte brytningsindexet i "teleskopdefinitionen", medan mikroskop ofta används med en immersionsvätska, med brytningsindex från 1,33 (vatten) till 1,51 (immersionsolja), mellan objektet och objektivet, varför hänsyn får tas till detta.
3. ^ [ ] Telescope resolution på TelescopeOptics.
4. Super-Resolution Microscopy Tutorial på Advanced Microscopy, University of Utah.
5. Lord Rayleigh, Investigations in Optics, with special reference to the Spectroscope i The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Scientific Journal, oktober 1879, sid. 261–274 (kriteriet uppställdes på sid. 262).
6. G.B. Airy, 1835, On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture i Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 5, del III, sid. 283–291. (Det bör kanske, speciellt för mikroskopanvändare, påpekas att "object-glass" inte betyder "objektglas" utan "objektiv".)
7. E. Abbe, 1873, Beiträge zur Theorie des Mikroskops und der mikroskopischen Wahrnehmung i Archiv für Mikroskopische Anatomie 9:1, sid. 413–468. Engelsk översättning 1876 av H.E. Fripp, A Contribution to the Theory of the Microscope and the Nature of Microscopic Vision i Proceedings of the Bristol Naturalists' Society 1, sid. 200–261. Se även E. Abbe, 1881, On the Estimation of Aperture in the Microscope Arkiverad 20 oktober 2019 hämtat från the Wayback Machine. i Journal of the Royal Microscopical Society 1:3, sid. 388–423 och E. Abbe ,1880, Ueber die Grenzen der geometrische Optik i Ernst Abbe, 1904, Gesammelte Abhandlungen band 1 "Abhandlungen über die Theorie des Mikroskops", sid 273-312.
8. 1.1.5 Abbe Theory of Coherently Illuminated Microscope i Geoffrey de Villiers, E. Roy Pike, 2016, The Limits of Resolution. ISBN 9781315350806
9. Anwar Ul-Hamid, 2018, A Beginners' Guide to Scanning Electron Microscopy, sid. 131–132. ISBN 9783319984827.
10. W.R. Dawes, 1867, Catalogue of Micrometrical Measurements of Double Stars. i Memoirs of the Royal Astronomical Society, vol. 35, sid. 137ff. Upplösningsgränsen anges på sid. 158.
11. C.M. Sparrow, 1916, On Spectroscopic Resolving Power i The Astrophysical Journal 44, sid. 76–86. Sparrow påpekar dock på första sidan att Rayleigh inte försökt att beskriva den egentliga upplösningsgränsen, utan bara ge ett index som anger kvaliteten hos instrumentet.
12. T. Stewart McKechnie, 2015, General Theory of Light Propagation and Imaging Through the Atmosphere, sid. 210. ISBN 9783319182094.
13. Schuster påstås ha hyst denna uppfattning. Se exempelvis Geoffrey de Villiers och E. Roy Pike, 2016, The Limits of Resolution, sid. 31 ISBN 9781498758123; "Schuster proposed the criterion that two point sources are resolved if their main lobes of their point-spread functions do not overlap. This is equivalent to twice the Rayleigh-criterion spacing". Schuster skriver dock själv i den referens som de Villiers och Pike anför (An Introduction to the Theory of Optics, 1924) att ett teleskops upplösningsförmåga är lika med rayleighkriteriet: "...two stars which occupy such a position that the centre of one falls on the first dark ring of the other (...) θ = 1.22λ/D. This is the angular distance between the stars when they are on the point of resolution...". Se A. Schuster (och John William Nicholson), 1924, An Introduction to the Theory of Optics, 3 uppl., E. Arnold & Co, London, sid. 148. På sidan 158 skriver Schuster förvisso "It would therefore be better not to have called a double line resolved until the two images stand so far apart that no portion of the central band overlaps the central band of the other...", men detta handlar om att separera spektrallinjer från en ljuskälla med ett spektroskop åstadkommet med ett prisma eller ett diffraktionsgitter med parallella linjer och inte om separation av ljus från två punktformiga ljuskällor.
14. W. V. Houston, 1927, A Compound Interferometer for Fine Structure Work i Physical Review 29, sid. 478.