Carlgrens moderklubb är Samuelsdals IF.[1] Han började sin seniorkarriär med två år i Falu FK. Därefter blev det två säsonger för IK Brage i Superettan, där han spelade 23 tävlingsmatcher, varav 22 från start.[2] Han höll nollan i sex av dessa matcher.[2]
I juli 2013 värvades han av AIK.[2] Han gjorde sin allsvenska debut den 8 maj 2014 mot Halmstads BK.[3]
I juli 2017 skrev han på ett 2+1-årskontrakt med turkiska Konyaspor.[5] Den 8 juli 2018 värvades Carlgren av Randers FC, där han skrev på ett treårskontrakt.[6] I februari 2021 förlängde Carlgren sitt kontrakt i klubben fram till sommaren 2024.[7]
Den 30 augusti 2024 värvades Carlgren av Ligue 1-klubben Nantes, där han skrev på ett tvåårskontrakt.[8]
Landslagskarriär
I mars 2013 blev Carlgren för första gången uttagen i det svenska U21-landslaget av förbundskaptenen Håkan Ericson till två landskamper på bortaplan mot Portugal och Kroatien. Hans landslagsdebut kom den 24 mars mot Kroatien (0–3).[2] Den 2 juni 2015 blev Carlgren uttagen till U21 EM 2015.[9]
Den 30 juni 2015 räddade Carlgren två straffar i finalen där Sverige tog guld i U21-EM.
