Hästskobana

       Solen ·        Jorden ·        2010 SO₁₆

Positionen för 2002AA₂₂ sådan den ter sig från jorden över de 95 år det tar att glida från den ena änden till den andra i hästskon. Spiralformen beror på banlutningen och excentriciteten i förhållande till jordbanan.

Banorna för 2002AA₂₂ och jorden i ett inert referenssystem avslöjar inget om hästskobanan, men lutningen som ger upphov till hästskons spiralstruktur framgår.

Cruithne och jorden som båda kretsar runt solen

Sett från jorden är Cruithnes årliga bana bönformad. På längre sikt beskriver dessa loopar en "överlappande" hästsko.[1]

Avbildning av Janus och Epimetheus banor i en roterande referensram.

En hästskobana är ett slags koorbital rörelse hos en mindre kretsande kropp i förhållande till en större kretsande kropp (till exempel en planet) runt en tredje stor central kropp (till exempel solen). Om omloppstiden (och, enligt Keplers tredje lag då även medelavståndet till centralkroppen) för den mindre kroppen är väldigt nära densamma som för den större kommer dess bana att se ut att vara hästskoformad i ett roterande referenssystem, som när den betraktas från den större kroppen, medan den i ett inertialsystem ter sig som en normal keplersk elliptisk omloppsbana.

Loopen som den lilla kroppen beskriver "årligen" är inte sluten utan driver sakta framåt och bakåt så att punkten den roterar kring förefaller flytta sig jämnt längs den större kroppens bana under en längre tidsperiod. När den mindre kroppen närmar sig den större byts dess skenbara riktning. Under en hel cykel beskriver den skenbara banan konturen av en "hästsko", med den större kroppen belägen mellan skänklarna.

Asteroider som kretsar i hästskobanor i förhållande till jorden inkluderar 54509 YORP, 2002 AA₂₉ och 2010 SO₁₆, samt möjligen 2001 GO₂.^[2] Med en bredare definition ingår även 3753 Cruithne, vilken kan sägas ha en sammansatt bana eller övergångsbana,^[2] (85770) 1998 UP₁ och 2003 YN₁₀₇.

Saturnus månar Epimetheus och Janus går i häskobanor i förhållande till varandra.^[3] I deras fall finns det ingen repeterad loop utan båda driver i en full hästsko i förhållande till den andre. I förhållande till ett roterande referenssystem med en hastighet som motsvarar medelhastigheten hos månarna kommer båda månarna att röra sig i en "delhästsko": Janus "sko" är mindre, både kortare och smalare, på grund av att den är 3,6 gånger tyngre än Epimetheus (F=ma).^[4]

Förklaring

Bakgrund

Nedanstående förklaring gäller en asteroid med en hästskobana i förhållande till jorden i sin bana runt solen. Asteroiden och jorden har nästan samma bana runt solen och båda har en omloppstid på (ungefär) ett år. Notera följande två effekter:

1. En kropp i en elliptisk bana rör sig fortare ju närmare solen den är (Keplers andra lag)
2. Om en kropp accelereras i sin bana kommer banan att ändras så att den avlägsnar sig från solen, om kroppen decelereras kommer den att närma sig solen (se centrifugalkraft)

Hästskobanan uppstår eftersom den gravitationella attraktionen från jorden ändrar formen på asteroidens elliptiska bana. Förändringarna är mycket små men resulterar i märkbara skillnader i förhållande till jorden.

Hästskoformen framträder bara när man avbildar asteroidens rörelse i ett roterande referenssystem vilket har solen och jorden som fixpunkter. Asteroiden rör sig ju hela tiden i samma riktning runt solen, men i förhållande till jorden jagar den ömsom i kapp och släpar efter så att banan kommer att få formen av en hästsko i ett referenssystem med solen och jorden som fixpunkter.

Banans olika stadier

Figur 1. Skiss över möjliga banor längs isolinjer med samma gravitationella potential. I bilden roterar jorden (och hela bilden med den) motsols runt solen. Proportionerna är väldigt överdrivna.

En mera proportionsrikig bild av hästskobanor än figur 1

Om vi börjar med asteroiden vid punkten A i Figur 1, mellan lagrangepunkten L₅ och jorden, så rör sig asteroiden här med högre vinkelhastighet (men lägre absolut hastighet) än jorden och är på väg att passera mellan jorden och solen. Men jordens gravitation börjar här bli kännbar och asteroiden accelereras, vilket innebär att den far ut till en yttre bana, som ju innebär att dess vinkelhastighet sjunker (Keplers andra lag). När den nått till punkten C, har den nått den punkt som motsvarar dess nyvunna hastighet, men eftersom vinkelhastigheten nu är lägre än jordens kommer asteroiden att börja "tappa mark". Till slut har den förlorat nästan ett helt varv och hamnar i "D". Här börjar den känna av jordens dragningskraft igen, och den här gången bromsas asteroiden in, vilket leder till att den närmar sig solen och hittar en ny bana vid E. Nu har den emellertid en vinkelhastighet som är större än jordens och börjar således dra ifrån densamma. Och när dess "ledning" är nästan ett varv, hamnar den i A igen och hela processen upprepas.

"Grodyngelbanor"

I Figur 1 antyds också möjligheten till banor som inte innesluter både L₄ och L₅, utan bara den ena av dessa : till exempel de som ligger nära de blå trianglarna. På engelska kallas sådana banor "tadpole orbits" och kan förklaras på liknande sätt, bortsett från att de inte oscillerar förbi L₃. Allteftersom asteroiden (eller vad det nu är - det är ju oftast en asteroid!) flyttar sig fram och tillbaka från jorden (eller vilken himlakropp den nu är i resonans med), och utåt eller inåt i förhållande till centralkroppen (t.ex. solen), på grund av sin växlande hastighet ser den ut att röra sig i en loop runt lagrangepunkten - ett fenomen som kallas libration.

Ett exempel på en måne i "grodyngelbana" är Polydeuces, en liten saturnusmåne som librerar kring L₅ i förhållande till den stora månen Dione (mellan 39° och 92° efter Dione med en period på 791 dagar).^[5] I Diones L₄ finns en annan måne Helene, liksom det finns månar i L₄ (Telesto) och L₅ (Calypso) i Tethys bana.^[6] Dessa tre månar är betydligt större än Polydeuces varför de inte uppvisar lika stor libration: störst har Helene (47° till 77° före Dione) medan Tethys båda följeslagare bara avviker med någon grad från respektive lagrangepunkt (±4° respektive ±1°). ^[7]

Dessa kroppar som ligger runt L₄ eller L₅ och rör sig i större eller mindre "grodyngelbanor" kallas trojaner.^[8][9][10]

Kvasisatellitbanor

En kvasisatellits bana i ett inert referenssystem.

Mindre kroppar som har precis samma omloppstid som en planet, men väldigt elliptiska banor kommer att beskriva en rörelse runt planeten ("skenbart" retrograd om den roterar på samma håll runt solen som planeten) som påminner om en avlägsen och avlång månbana.^[11] Dessa banor är dock ej stabila, åtminstone inte innanför Uranus bana,^[11] eftersom den mindre kroppen är utanför planetens Hillsfär och förr eller senare kommer att störas in i någon annan bana - till exempel en hästskobana^[12]. Störningarna kan även gå på andra hållet så att en kropp i hästskobana tillfälligt kan bli en kvasisatellit - så var exempelvis 2003 YN₁₀₇ en kvasisatellit mellan 1999 och 2006^[13]

Referenser

Noter

1. Paul Wiegert, Kimmo Innanen, Seppo Mikkola, 1997, Near-Earth asteroid 3753 Cruithne - Earth's curious companion Arkiverad 18 januari 2012 hämtat från the Wayback Machine.
2. ^ [ ] Christou, A. A.; Asher, D. J. (2011). "A long-lived horseshoe companion to the Earth Arkiverad 8 augusti 2017 hämtat från the Wayback Machine.". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 414 (4): 2965. arXiv:1104.0036. Bibcode:2011MNRAS.414.2965C. doi:10.1111/j.1365-2966.2011.18595.x.
3. Charli Sakari, The Saturn-Janus-Epimetheus System Arkiverad 11 augusti 2010 hämtat från the Wayback Machine.
4. Carl D. Murray, "Dynamics of the Solar System" i I.P. Williams, N. Thomas (red), 2001, Solar and Extra-Solar Planetary Systems, sid 110-111, Springer Verlag, ISBN 3-540-42559-4.
5. Spitale, J. N.; Jacobson, R. A.; Porco, C. C.; Owen, W. M., Jr. (2006), The orbits of Saturn's small satellites derived from combined historic and Cassini imaging observations, sid. 699-702, The Astronomical Journal 132 (2). Bibcode:2006AJ....132..692S. doi:10.1086/505206
6. P.C. Thomas et al., 2013, The inner small satellites of Saturn: A variety of worlds, Icarus, sid 1010,
7. Philippe Robutel, Nicolas Rambaux, Maryame El Moutamid, 2011, . Influence of the coorbital resonance on the rotation of the Trojan satellites of Saturn.
8. B. Bertotti, Paolo Farinella, David Vokrouhlický, 2003, Physics of the Solar System, sid. 361-363, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, ISBN 1-4020-1428-7.
9. Carl D. Murray, "Dynamics of the Solar System" i I.P. Williams, N. Thomas (red), 2001, Solar and Extra-Solar Planetary Systems, sid 109-110, Springer Verlag, ISBN 3-540-42559-4.
10. Marzari et al.Origin and Evolution of Trojan Asteroids sid 725-738 i William Bottke, Alberto Cellino, Paolo Paolicchi och Richard P. Binzel (red.) Asteroids III, University of Arizona Press and the Lunar and Planetary Institute
11. ^ [ ] Paul Wiegert, Kimmo Innanen, Seppo Mikkola, 2000, Quasi-satellites, a strange class of Solar System object, may exist in the outer reaches of our Solar System Arkiverad 15 mars 2016 hämtat från the Wayback Machine.
12. Wajer, Paweł, 2010, Dynamical evolution of Earth’s quasi-satellites: 2004 GU9 and 2006 FV35 Icarus, Volume 209, Issue 2, p. 488-493
13. Corscrew asteroids Arkiverad 10 september 2015 hämtat från the Wayback Machine. på NASA Science News.

Källor

• Imke de Pater,Jack J. Lissauer, 2010, Planetary Sciences,, 2 uppl, sid 28-29 Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85371-2.
• Carl D. Murray,Stanley F. Dermott, 2001, Solar System Dynamics, sid 97-102, Cambridge University Press, ISBN 0-521-57295-9.

Externa länkar

• Animationer av 2002AA₂₂:s rörelser i förhållande till jorden från olika synvinklar på NASAs Near Earth Object Program.
• Does Earth have a second moon? på EarthSky
• Matija Cuk, Douglas P. Hamilton and Matthew J. Holman, 2012, Long-Term Stability of Horseshoe Orbits, Monthly Notes of the Royal Astronomical Society Volume 426, Issue 4, sid 3051–3056.
• Robert J. Vanderbei, Horsing Around on Saturn