Теорема о отвореном пресликавању

Две се теореме у математици називају именом теорема о отвореном пресликавању.

Функционална анализа

У функционалној анализи, теорема о отвореном пресликавању (понекад: теорема Банаха о отвореном пресликавању, Банах-Шаудерова теорема) је следећи темељни резултат:

Нека су X и Y Банахови простори и ${\displaystyle A:X\to Y}$ сурјективно непрекидно линеарно пресликавање. Тада је A отворено пресликавање (односно, ако је ${\displaystyle U\subset X}$ отворен, тада је и слика ${\displaystyle f(A)\subset Y}$ отворен скуп).

Доказ теореме о отвореном пресликавању користи Берову теорему о категорији. Теорема важи и за Фрешеове просторе, који такође имају Берово својство.

Ова теорема има бројне важне последице, међу којима посебно:

• Ако је ${\displaystyle A:X\to Y}$ бијективно непрекидно линеарно пресликавање Банахових простора X и Y, тада је инверзно пресликавање ${\displaystyle A^{-1}:Y\to X}$ такође непрекидно, односно A је хомеоморфизам (теорема о инверзном пресликавању, Банахова теорема о изоморфизму).
• Ако је ${\displaystyle A:X\to Y}$ линеарно пресликавање између Банахових простора X и Y, и ако из ${\displaystyle x_{n}\to 0}$ и ${\displaystyle Ax_{n}\to y}$ за низ елемената ${\displaystyle x_{n}\in X}$ и ${\displaystyle y\in Y}$ следи ${\displaystyle y=0}$, тада је A непрекидно.

Потоње тврђење се назива теоремом о затвореном графику, пошто тврди да је линеарно пресликавање ${\displaystyle A:X\to Y}$ између Банахових простора непрекидно ако и само ако је његов график ${\displaystyle G_{A}=\{(x,Ax):x\in X\}}$ затворен подскуп производа ${\displaystyle X\times Y}$.

Доказ

Потребно је доказати да A слика отворене скупове у отворене. Према линеарности, довољно је доказати да за свако ${\displaystyle \epsilon >0}$ постоји ${\displaystyle \delta >0}$ такво да је

${\displaystyle B_{Y}(0,\delta )\subset A(B_{X}(0,\epsilon ))}$;

штавише, како је A и хомогено, ово је довољно доказати за једно ε. Посматрајмо затворене скупове

${\displaystyle Y_{n}={\overline {A(B_{X}(0,n))}}}$.

Како је A сурјективно пресликавање, ${\displaystyle Y=\cup _{n\in {\mathbb {N} }}Y_{n}}$. Y је Банахов простор, дакле и комплетан метрички, те према Беровој теореми о категорији неки Y_N има непразну унутрашњост, дакле садржи неку отворену куглу ${\displaystyle B_{Y}(y,\eta )}$. Према линеарности,

${\displaystyle B_{Y}(0,\eta )\subset Y_{N}+Y_{N}\subset Y_{2N}}$.

Докажимо сада да

${\displaystyle B_{Y}(0,\eta /2)\subset A(B_{X}(0,2N))}$.

Према хомогености имамо да је

${\displaystyle B_{Y}(0,\eta /2^{k})\subset {\overline {A(B_{X}(0,2N/2^{k}))}}}$.

Нека је ${\displaystyle y_{0}\in B_{Y}(0,\eta /2)}$. Према горњој једначини можемо наћи ${\displaystyle x_{0}\in B_{X}(0,N)}$ тако да је

${\displaystyle \|y_{0}-Ax_{0}\|_{Y}<\eta /4}$, односно ${\displaystyle y_{1}:=y_{0}-Ax_{0}\in B_{Y}(0,\eta /4)}$.

На исти начин можемо наћи и ${\displaystyle x_{1}\in B_{X}(0,N/2)}$ тако да је ${\displaystyle y_{2}:=y_{1}-Ax_{1}\in B_{Y}(0,\eta /8)}$, и тако даље:

${\displaystyle x_{k}\in B_{X}(0,N/2^{k})}$, ${\displaystyle y_{k+1}:=y_{k}-Ax_{k}\in B_{Y}(0,\eta /2^{k+2})}$.

Сабирајући првих n ових једнакости имамо

${\displaystyle y_{0}=A(x_{0}+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1})+y_{n}.}$

Како је ${\displaystyle \|x_{k}\|_{X}<N/2^{k}}$, то ред ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x_{k}}$ конвергира у Банаховом (дакле комплетном) простору X; означимо његову суму са x. Како је A непрекидно пресликавање, имамо да је ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Ax_{k}=Ax}$. У горњој једначини преласком на граничну вредност тако следи

${\displaystyle y_{0}=Ax.}$

Како је

${\displaystyle \|x\|_{X}<N+N/2+N/4+\cdots =2N}$

и ${\displaystyle y_{0}\in B_{Y}(0,\eta /2)}$ је било произвољно, тврђење следи.

Комплексна анализа

У комплексној анализи, понекад се (посебно у земљама енглеског говорног подручја) теоремом о отвореном пресликавању назива тврђење да је за сваки отворен подскуп ${\displaystyle U\subseteq {\mathbb {C} }}$ и сваку неконстантну холоморфну функцију ${\displaystyle f:U\to {\mathbb {C} }}$, скуп ${\displaystyle f(U)}$ отворен; другим речима, свака неконстантна холоморфна функција је отворено пресликавање (слике отворених подскупова ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ су такође отворени подскупови).