Квадратна форма

Квадратна форма је алгебарски појам који означава пресликавање ${\displaystyle \Phi :V\to K}$, где је V векторски простор над пољем K, индуковано пресликавањем ${\displaystyle F:V\times V\to K}$, и то тако да важи ${\displaystyle (\forall u\in V)\Phi (u)=F(u,u)}$, а које испуњава услове:

${\displaystyle 1^{\circ }(\forall \alpha \in K)(\forall u\in V)\Phi (\alpha u)=\alpha ^{2}\Phi (u)}$, и

${\displaystyle 2^{\circ }F_{0}(u,v)=\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v)}$ је билинеарно пресликавање.

Скуп свих оваквих пресликавања Ф означава се са Q(V, K), и за њега важи да је потпростор простора свих пресликавања из V у K (${\displaystyle K^{V}}$).

Особине квадратних форми

С обзиром на дефиницију, уколико је F симетрична билинеарна форма, важиће и ${\displaystyle F_{0}=2F}$, за већ дате ознаке. Додатно, ако поље K није поље карактеристике 2, тада ће, имајући у виду дату једнакост, бити и ${\displaystyle F(u,v)={\frac {1}{2}}(\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v))}$.

Важи и обратно, тј. за ма које пресликавање Ф које испуњава 1° и 2° постојаће јединствена билинеарна форма F за коју важи ${\displaystyle (\forall u\in V)\Phi (u)=F(u,u)}$ и ${\displaystyle F(u,v)={\frac {1}{2}}(\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v))}$, али само уколико је карактеристика поља K већа од 2.

Управо ова једнозначност дозвољава увођење посебног назива за функцију F — поларизација или поларна форма квадратне форме Ф.

Поред овога, може се дефинисати и изоморфизам веторских простора Q(V, K) и S2(V, K) — ${\displaystyle \Omega :Q(V,K)\to S2(V,K)}$ са ${\displaystyle \Omega (\Phi )=F}$.

Матрице квадратних форми

Нека је Ф квадратна форма и F њена поларизација и А (${\displaystyle A=[a_{ij}]}$) матрица F у бази е (${\displaystyle e=[e_{1},...,e_{n}]}$). Пошто је F билинеарна форма, важи ${\displaystyle F(u,v)=X^{T}AY}$, за неке X и Y. Но, како ${\displaystyle \Phi (u)=F(u,u)}$, то је ${\displaystyle \Phi (u)=X^{T}AY}$, за X колону координата вектора u у бази е. Ипак, оваква матрица А није једнозначно одређена, али међу свима које испуњавају услов постоји јединствена која је симетрична. Ово је матрица поларизације F за Ф у бази е, а она се још назива и матрицом квадратне форме Ф у бази е, и означава се са ${\displaystyle [\Phi ]_{e}}$. Слично као малопре, дата матрица квадратне форме одређује тачно једну квадратну форму (тј. важи и обрат). Општа матрица квадратне форме у бази димензије n је облика

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&a_{3n}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$,

тј. важи ${\displaystyle [A]_{ij}=[A]_{ji}}$ за i и j који су између 1 и n.

Детерминанта матрице квадратне форме Ф се још назива и дискриминантом квадратне форме, у ознаци ${\displaystyle \Delta _{e}(\Phi )=\det[\Phi ]_{e}}$. Уколико постоји још нека база простора V — g таква да ${\displaystyle g=Pe}$ тада важи ${\displaystyle \Delta _{g}(\Phi )=(\det P)^{2}\Delta _{e}(\Phi )}$.

Види још

• Линеарна алгебра
• Пресликавање
• Векторски простор

Литература

• Калајџић, Гојко (2007). Linearna algebra. Математички факултет. ISBN 9788675890621.