База (линеарна алгебра)

База неког векторског простора V над пољем K је уређени скуп међусобно линеарно независних и не-нула вектора e = {e₁, e₂, ..., e_n}, којима се, уз множење скаларима, једнозначно може представити сваки други вектор a из V:

${\displaystyle a=\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2}+\cdots +\alpha _{n}e_{n},\;\alpha _{i}\in K}$

Одавде следи да је овакав скуп такође и минималан, јер ако би се, на пример e_i могло изразити као αe_ј + βe_k, то би значило да се вектор e_i може изразити на још један начин, што више није једнозначно.

Како се у векторском простору димензије n може представити n линеарно независних вектора, његову базу мора чинити најмање n вектора, што заједно са закључком горе даје да база n-димензионог векторског простора V има тачно n вектора.

Канонска база

Једна од база n-димензионог векторског простора V се може дефинисати на следећи начин:

${\displaystyle e:\{e_{i}=(\underbrace {0,\dots ,0} _{i-1},1,\underbrace {0,\dots ,0} _{n-i}),\;\;i=1,\dots ,n\}}$

Ова база се назива канонском базом тог простора, а по дефиницији је и ортонормирана.

Види још

• Ортонормирана база