Редовни је професор Медицинског факултета у Београду и директор Клинике за неурологију Клиничког центра Србије.
Био је декан Медицинског факултета (2002-2004). Редовни је члан САНУ и више домаћих и иностраних научних друштава.
У истраживањима је оријентисан на проучавање дегенеративних процеса код можданих ћелија, као код Паркинсонове, Алцхајмерове и Хантингтонове болести. Објављује радове у иностраним часописима.
Добитник је Октобарске награде града Београда (1988. и 1994) и Годишње награда Српског лекарског друштва за научно-истраживачки рад (1997).
У јануару 2021. група грађана је протестовала испред зграде САНУ због спорне Костићеве изјаве да Косово „дејуре и дефакто није наше”.[3][4]
Kozic, Dusko; Kostic, Vladimir S (2001), „IMAGES IN NEUROLOGY - Crossed Cerebrocerebellar Atrophy”, Archives of Neurology, Archives of Neurology: Chicago, American Medical Association, 58 (11): 1929—1930, ISSN0003-9942, OCLC96596879, PMID11709005, doi:10.1001/archneur.58.11.1929
Petrovic, Natasa Cerovac Igor; Klein, Christine; Kostic, Vladimir S (2007), „Delayed-onset dystonia due to perinatal asphyxia: A prospective study”, Movement Disorders, Movement Disorders.: Raven Press, 22 (16): 2426—2429, ISSN0885-3185, OCLC190754323, PMID17894340, S2CID1558644, doi:10.1002/mds.21747