Божик је рођен у Кишпешту, једном од будимпештанских предграђа. Свој надимак Цуцу, је добио од баке која га је чувала. Одрастао је играјући фудбал на пољанама Кишпешта са својим најбољим пријатељем и комшијом Ференцом Пушкашем.[2]
Веч као једанаестогодишњак је показао изузетан таленат и локални клуб КАЦ га је узео у подмладак тима. Свој деби у првом тиму је имао 1943. године против ФК Вашаша. Прву утакмицу за Мађарску је одиграо када је имао 22 године 17. августа 1947. против Бугарске.[2]
За Божика се може рећи да је своју фудбалску каријеру почео и завршио у Хонведу. Клуб за који је почео да игра, као једанаестогодишњак, је у ствари био један од огранака будућег моћног Хонведа.
Клуб у ком је Божик започео своју фудбалску каријеру 1938. се звао АЦ Кишпешт а завршио је своју играчку каријеру 1962. у истом клубу, тада већ познатом под именом ФК Хонвед.
На клупском нивоу играчке каријере, која је трајала 24 године, Божик је одиграо 447 утакмица и постигао је 33 гола. Играо је на позицији десног халфа.
Са Хонведом Божик је освојио пет шампионских титула Мађарске
Божик је учествовао и на светском првенству1958. у Шведској и одиграо је две утакмице. На утакмици против Велса је и постигао гол у петом минуту, али нажалост мађара, утакмица се завршила нерешено 1 : 1. Друга утакмица на овом првенсртву му је била против Шведске, коју су Мађари изгубили са 2 : 1.[3]
У свом играчком зениту, Божик је био сматран за најбољег офанзивног халфа на свету. познат је био по својој техници, креативности. Током своје каријере освојио је многа спортска признања, а догурао је и до позиције у мађарском парламенту.[5]
Престанак играчке каријере није значио крај Божиковог учествовања у спорту, био је члан управног одбора у матичном клубу ФК Хонвед, и био је тренер клуба на 47 мечева у годинама 1966/1967. Био је и селектор (савезни капетан) мађарске репрезентације 1974, али га је болест спречила да дуже остане на клупи.
