Максвел–Болцманова дистрибуција

У физици (посебно у статистичкој механици), Максвел-Болцманова расподела је посебна дистрибуција вероватноће названа по Џејмсу Клерку Максвелу и Лудвигу Болцману.

Прво је дефинисана и коришћена за описивање брзина честица у идеалним гасовима, где се честице слободно крећу унутар непокретног контејнера без међусобне интеракције, изузев врло кратких судара у којима међусобно или са својим окружењем размењују енергију и моментум. Термин „честица“ у овом контексту односи се само на гасовите честице ( атоме или молекуле), а претпоставља се да је систем честица достигао термодинамичку равнотежу . ^[1] Енергије таквих честица прате оно што је познато као Максвел-Болцманова статистика, а статистичка расподела брзина изведена је изједначавањем енергија честица са кинетичком енергијом .

Математички, Максвел-Болцманова расподела је хи дистрибуција са три степена слободе (компоненте вектора брзине у Еуклидовом простору), са параметром скале који мери брзине у јединицама пропорционалним квадратном корену од ${\displaystyle T/m}$ (однос температуре и масе честица). ^[2]

Максвел-Болцманова расподела резултат је кинетичке теорије гасова, која пружа поједностављено објашњење многих основних гасних својстава, укључујући притисак и дифузију . ^[3] Максвел-Болцманова расподела се у основи примењује на брзине честица у три димензије, али се испоставило да зависи само од брзине ( износа брзине) честица. Расподела вероватноће брзине честице указује на то које су брзине вероватније: честица ће имати брзину случајно одабрану из расподеле и већа је вероватноћа да ће бити унутар једног опсега брзина од другог. Кинетичка теорија гасова односи се на класични идеалан гас, који је идеализација стварних гасова. У стварним гасовима постоје различити ефекти (нпр. Ван дер Валсове интеракције, вртложни ток, релативистичка ограничења брзине и интеракције квантне размене ) који могу учинити њихову расподелу брзине другачијом од Максвел-Болцмановог модела. Међутим, разређени гасови на уобичајеним температурама понашају се готово као идеалан гас и Максвелова расподела брзине је одлична апроксимација за такве гасове. Идеалне плазме, које су јонизовани гасови са довољно малом густином, често имају и расподелу честица која је делимично или у потпуности максвеловска. ^[4]

Дистрибуцију је први извео Максвел 1860. године на хеуристичким основама. ^[5] Болцман је касније, 1870-их, спровео значајна истраживања физичког порекла ове дистрибуције.

Дистрибуција се може извести на основу тога што максимализује ентропију система. Списак извода су:

1. Максимална расподела вероватноће ентропије у фазном простору, са ограничењем очувања просечне енергије${\displaystyle \langle H\rangle =E}$ ;
2. Канонски ансамбл .

Функција дистрибуције

Под претпоставком да систем од интереса садржи велики број честица, удео честица унутар бесконачно малог елемента тродимензионалног простора брзине,${\displaystyle d^{3}v}$, центриран на вектор брзине величине${\displaystyle v}$, је${\displaystyle f(v)d^{3}v}$, у којима

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} ^{3}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} ^{3}v,}$

где је ${\displaystyle m}$ маса честица и ${\displaystyle kT}$ је производ Болцманове константне и термодинамичке температуре .

Функције густине вероватноће брзине брзине неколико племенитих гасова на температури од 298,15 K (25 °C). И оса је С / М, тако да површина под било којим секције криве (која представља вероватноћу брзине бића у том опсегу) је без димензија.

Елемент простора брзине можемо записати као d${\displaystyle ^{3}v}$ = d${\displaystyle v_{x}}$ d${\displaystyle v_{y}}$ d${\displaystyle v_{z}}$, за брзине у стандардном картезијанском координатном систему или као d${\displaystyle ^{3}v}$ =${\displaystyle v^{2}}$ д${\displaystyle v}$ d${\displaystyle \Omega }$ у стандардном сферном координатном систему, где d${\displaystyle \Omega }$ је елемент пуног угла. У овом случају, ${\displaystyle f(v)}$ је дата као функција расподеле вероватноће, правилно нормализована тако да${\displaystyle \int f(v)}$ d${\displaystyle ^{3}v}$ преко свих брзина једнака је један. У физици плазме, расподела вероватноће се често помножи са густином честица, тако да је интеграл резултујуће функције расподеле једнак густини.

Максвелова функција расподеле за честице које се крећу само у једном смеру, ако је овај правац ${\displaystyle x}$, је

${\displaystyle f(v_{x})~\mathrm {d} v_{x}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{1/2}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} v_{x},}$

који се могу добити интегрисањем тродимензионалне форме дане изнад ${\displaystyle v_{y}}$ и${\displaystyle v_{z}}$ .

Препознавши симетрију ${\displaystyle f(v)}$, може се интегрисати преко пуног угла и написати расподела вероватноће брзина као функција

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,4\pi v^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} v,}$

Ова функција густине вероватноће даје вероватноћу, по јединици брзине, налажења честице брзином близу ${\displaystyle v}$ . Ова једначина је једноставно Максвел-Болцманова расподела (дата у инфо кутији) са параметром расподеле${\displaystyle a={\sqrt {kT/m}}}$ . Максвел-Болцманова расподела еквивалентна је хи дистрибуцији са три степена слободе и параметром скале ${\displaystyle a={\sqrt {kT/m}}}$ .

Најједноставнија обична диференцијална једначина коју задовољава расподела је:

${\displaystyle kTvf'(v)+f(v)(mv^{2}-2kT)=0,}$

${\displaystyle f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {m}{2kT}}}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}}$

или представљено без јединице:

${\displaystyle a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x)=0,}$

${\displaystyle f(1)={\frac {{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{-{\frac {1}{2a^{2}}}}}{a^{3}}}.}$

Дарвин-Фовлер-овом методом средњих вредности добија се Максвел-Болцманова расподела као тачан резултат.

Однос према 2D Максвел-Болцмановој расподели

Симулација 2D гаса који се релаксира према Максвел-Болцмановој расподели брзине

За честице ограничене да се крећу у равни, расподела брзине је дата са

${\displaystyle P(s<|{\vec {v}}|<s+ds)={\frac {ms}{kT}}\exp {\bigg (}-{\frac {ms^{2}}{2kT}}{\bigg )}ds}$

Ова расподела се користи за опис система у равнотежи. Међутим, већина система не започиње у равнотежном стању. Еволуцијом система ка његовом равнотежном стању управља Болцманова једначина . Једначина предвиђа да ће за интеракције кратког домета равнотежна расподела брзине следити Максвел-Болцманову расподелу. Десно је симулација молекуларне динамике (МД) у којој је 900 честица тврде сфере ограничено да се креће у правоугаонику. Они комуницирају помоћу савршено еластичних судара. Систем се покреће из равнотеже, али расподела брзине (у плавој боји) брзо конвергира у 2D Максвел-Болцман расподелу (у наранџастој боји).

Типичне брзине

Максвел-Болцманова расподела која одговара соларној атмосфери. Масе честица су једна протонска маса, ${\displaystyle m=1{\text{ amu}}=1.67\times 10^{-24}{\text{ g }}}$, а температура је ефективна температура сунчеве фотосфере, ${\displaystyle T=5800{\text{ K }}}$ .${\displaystyle {\tilde {V}},{\bar {V}},{\text{ and }}V_{\text{rms}}}$ означавају највероватније, средње и средње средње квадратне брзине. Њихове вредности су${\displaystyle {\tilde {V}}\approx 9.79{\text{ km/s, }}}$${\displaystyle {\bar {V}}\approx 11.05{\text{ km/s, }}}$ и${\displaystyle V_{\text{rms}}\approx 12.00{\text{ km/s }}}$ .

Средња брзина ${\displaystyle \langle v\rangle }$, највероватнија брзина ( режим) v_p и средња квадратна брзина${\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$ могу се добити из својстава Максвелове расподеле.

Ово добро функционише за готово идеалне, монатомске гасове попут хелијума, али и за молекуларне гасове попут двоатомског кисеоника . То је зато што, упркос већем топлотном капацитету (већој унутрашњој енергији при истој температури) због већег броја степени слободе, њихова транслациона кинетичка енергија (а самим тим и брзина) остаје непромењена. ^[6]

${\displaystyle =\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}\ e^{-bv^{2}}dv\right)^{1/2}\,\!}$

${\displaystyle =\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {\pi }{b^{5}}}}\right)^{1/2}=\left({\frac {3}{2b}}\right)^{1/2}\,\!}$

${\displaystyle ={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{p}}$}}-->Укратко, типичне брзине су повезане на следећи начин:

${\displaystyle v_{p}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.}$

Средња квадратна брзина директно је повезана са брзином звука c у гасу, за

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{p},}$

где${\displaystyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}$ је адијабатски индекс, f је број степена слободе појединачног молекула гаса. За горњи пример, двоатомни азот (приближни ваздух) на 7002300000000000000♠300, ${\displaystyle f=5}$ ^[7] и

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{p}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,}$

права вредност ваздуха се може апроксимализовати коришћењем просечне моларне тежине ваздуха ( 7001290000000000000♠29 ), дајући 7002347000000000000♠347 на 7002300000000000000♠300 (корекције за променљиву влажност ваздуха су реда од 0,1% до 0,6%).

Просечна релативна брзина

${\displaystyle v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|\rangle =\int \!d^{3}v_{1}d^{3}v_{2}|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle }$

где је тродимензионална расподела брзине

${\displaystyle f({\vec {v}})\equiv {\frac {1}{(2\pi kT/m)^{3/2}}}e^{-{\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}/kT}.}$

Интеграл се лако може извршити променом на координате${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}}$ и${\displaystyle {\vec {U}}={\frac {{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}}{2}}.}$

Извођење и сродне дистрибуције

Максвел – Болцман статистика

Првобитно извођење из 1860. године Џејмса Клерка Максвела био је аргумент заснован на молекуларним сударима кинетичке теорије гасова као и одређеним симетријама у функцији расподеле брзине; Максвел је такође дао рани аргумент да ови молекуларни судари имају тенденцију ка равнотежи. ^{[5] [8]} После Максвела, Лудвиг Болцман је 1872. године ^[9] такође извео расподелу на механичким основама и тврдио да би гасови временом требало да теже ка тој расподели, услед судара (види Х-теорему ). Касније (1877) ^[10] је поново извео расподелу у оквиру статистичке термодинамике . Изводи у овом одељку су у складу са Болцмановим извођењем из 1877. године, почев од резултата познатог као Максвел -Болцман статистика (из статистичке термодинамике). Максвел -Болцманова статистика даје просечан број честица пронађених у датом једночестичном микростању. Под одређеним претпоставкама, логаритам фракције честица у датом микростању сразмеран је односу енергије тог стања и температуре система:

${\displaystyle -\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)\propto {\frac {E_{i}}{T}}.}$

Претпоставке ове једначине су да честице не интерагују међусобно и да су класичне; то значи да се стање сваке честице може сматрати независно од стања осталих честица. Поред тога, претпоставља се да су честице у топлотној равнотежи. ^{[1] [11]}

Ова веза се може написати као једначина увођењем нормализујућег фактора:

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp(-E_{i}/kT)}{\sum _{j}\exp(-E_{j}/kT)}}}$

(1)

где:

• N_i је очекивани број честица у једночестичном микростању i,
• N је укупан број честица у систему,
• E_i је енергија микростања i,
• збир над индексом j узима у обзир сва микростања,
• T је равнотежна температура система,
• k је Болцманова константа .

Деноминатор у једначини ( 1 ) је једноставно нормализујући фактор тако да односи${\displaystyle N_{i}:N}$ доприносе јединству- другим речима, то је нека врста партицијске функције (за једнопартицијски систем, а не уобичајена партицијска функција читавог система).

Будући да су брзина и велоцитет повезани са енергијом, једначина ( 1 ) се може користити за добијање односа између температуре и брзине честица гаса. Све што је потребно је открити густину микростања у енергији, која се одређује поделом простора импулса на регионе једнаке величине.

Расподела вектора импулса

За потенцијалну енергију се узима нула, тако да је сва енергија у облику кинетичке енергије. Однос између кинетичке енергије и импулса за масивне нерелативистичке честице је

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

(2)

где је п ² квадрат импулсног вектора p = [ п _к,  п _и,  п _з ]. Стога једначину ( 1 ) можемо преписати као:

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}}\right]}$

(3)

где је З партицијска функција, која одговара деноминатору у једначини ( 1 ). Овде је m молекулска маса гаса, Т термодинамичка температура и k Болцманова константа . Ова дистрибуција${\displaystyle N_{i}:N}$ је пропорционалан функцији густине вероватноће f _п за проналажење молекула са овим вредностима компоненти импулса, па:

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]}$

(4)

Нормализујућа константа може се одредити препознавањем да вероватноћа молекула има одређени замах мора бити 1. Интегрисањем експоненцијала у ( 4 ) по свим p_k,p _y и pz добија се фактор од

${\displaystyle \iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]dp_{x}\ dp_{y}\ dp_{z}={({\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}})^{3}}}$

Тако да је нормализована функција расподеле:

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

Сматра се да је расподела производ три независне нормално дистрибуиране променљиве${\displaystyle p_{x}}$, ${\displaystyle p_{y}}$, и${\displaystyle p_{z}}$, са одступањем${\displaystyle mkT}$ . Поред тога, може се видети да ће величина моментума бити распоређена као Максвел-Болцманова расподела, са${\displaystyle a={\sqrt {mkT}}}$ . Максвел-Болцманова расподела за импулс (или једнако за брзине) може се темељније добити помоћу Х-теореме у равнотежи у оквиру кинетичке теорије гасних оквира.

Расподела енергије

Расподела енергије је импозантна

${\displaystyle f_{E}(E)dE=f_{p}({\textbf {p}})d^{3}{\textbf {p}},}$

(7)

где${\displaystyle d^{3}{\textbf {p}}}$ је бесконачно мали запремински простор импулса фазног простора који одговара енергетском интервалу${\displaystyle dE}$ . Користећи сферну симетрију односа дисперзије енергије и импулса${\displaystyle E=|{\textbf {p}}|^{2}/2m}$, ово се може изразити у${\displaystyle dE}$ на следећи начин :

${\displaystyle d^{3}{\textbf {p}}=4\pi |{\textbf {p}}|^{2}d|{\textbf {p}}|=4\pi m{\sqrt {2mE}}dE.}$

(8)

Користећи тада ( 8 ) у ( 7 ) и изражавајући све у смислу енергије${\displaystyle E}$, добијамо

${\displaystyle f_{E}(E)dE={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}e^{-E/kT}4\pi m{\sqrt {2mE}}dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\left({\frac {1}{kT}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-E}{kT}}\right)dE}$

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

Будући да је енергија пропорционална збиру квадрата три нормално распоређене компоненте импулса, ова расподела енергије може се записати еквивалентно гама расподели, користећи параметар облика,${\displaystyle {k}_{shape}=3/2}$ и параметар скале,${\displaystyle {\theta }_{scale}=kT}$ .

Користећи теорему о равнотежи, с обзиром да је енергија равномерно распоређена између сва три степена слободе у равнотежи, такође можемо поделити${\displaystyle f_{E}(E)dE}$ у скуп хи-квадрат дистрибуција, где енергија по степену слободе,${\displaystyle \epsilon }$, дистрибуира се као хи-квадрат дистрибуција са једним степеном слободе, ^[12]

${\displaystyle f_{\epsilon }(\epsilon )\,d\epsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \epsilon kT}}}~\exp \left[{\frac {-\epsilon }{kT}}\right]\,d\epsilon }$

У равнотежи, ова расподела ће важити за било који број степени слободе. На пример, ако су честице ригидни масени диполи фиксног диполног момента, имаће три транслациона степена слободе и два додатна ротациона степена слободе. Енергија у сваком степену слободе биће описана према горњој хи-квадрат расподели са једним степеном слободе, а укупна енергија биће распоређена према хи-квадрат дистрибуцији са пет степена слободе. То има импликације у теорији специфичне топлоте гаса.

Максвел-Болцман-ова расподела се такође може добити узимајући у обзир да је гас врста квантног гаса за који се може извршити апроксимација ε >> к Т.

Расподела за вектор брзине

Схватајући да је густина вероватноће брзине f _v пропорционална функцији густине вероватноће импулса за

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v}$

и користећи p = m v добијамо

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right]}$

што је Максвел-Болцманова расподела брзине. Вероватноћа проналаска честице брзином у бесконачно малом елементу [ dv _k,  dv _y, dv _z ] о брзини v = [ v_k, v _y,  v z] је

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}$

Као и моментум, и за ову расподелу се види да је производ три независне нормално дистрибуиране променљиве${\displaystyle v_{x}}$, ${\displaystyle v_{y}}$, и${\displaystyle v_{z}}$, али са одступањем${\displaystyle {\frac {kT}{m}}}$ . Такође се може видети да је Максвел-Болцманова расподела брзине за векторску брзину [v _k,  v _y,  _vz ] је умножак расподеле за сваки од три правца:

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}$

где је расподела за један правац

${\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].}$

Свака компонента вектора брзине има нормалну расподелу са средњом вредношћу${\displaystyle \mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0}$ и стандардна девијација${\displaystyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}}$, тако да вектор има тродимензионалну нормалну расподелу, одређену врсту мултиваријантне нормалне расподеле, са средњом вредности${\displaystyle \mu _{\mathbf {v} }={\mathbf {0} }}$ и коваријанција${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {kT}{m}}\right)I}$, где${\displaystyle I}$ је${\displaystyle 3\times 3}$ идентитет матрица.

Расподела брзине

Максвел-Болцманова расподела брзине следи непосредно из расподеле вектора брзине, горе. Имајте на уму да је брзина

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$

а елемент запремине у сферним координатама

${\displaystyle dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}dv\,d\Omega }$

где${\displaystyle \phi }$ и${\displaystyle \theta }$ су сферни координатни углови вектора брзине. Интеграција функције густине вероватноће брзине преко пуних углова${\displaystyle d\Omega }$ даје додатни фактор од${\displaystyle 4\pi }$ . Расподела брзине са заменом брзине за збир квадрата векторских компонената:

${\displaystyle f(v)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}v^{2}\exp \left[-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right].}$

У n -димензионалном простору

У n- димензионалном простору Максвел-Болцманова расподела постаје:

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} ^{n}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{n/2}\,e^{-{\frac {m|v|^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} ^{n}v}$

Дистрибуција брзине постаје:

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} v={\text{const.}}\times e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\times v^{n-1}~\mathrm {d} v}$

Следећи интегрални резултат је користан:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }v^{a}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}dx^{\frac {1}{2}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}{\frac {x^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}dx\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}{\frac {\Gamma ({\frac {a+1}{2}})}{2}}\end{aligned}}}$

где${\displaystyle \Gamma (z)}$ је функција Гама . Овај резултат се може користити за израчунавање тренутака функције расподеле брзине:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v\rangle &={\frac {\int _{0}^{+\infty }v\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\end{aligned}}}$

која је сама средња брзина${\displaystyle v_{\text{avg}}=\langle v\rangle =\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$ .

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\int _{0}^{+\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}}$

Извод функције расподеле брзине:

${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \ e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\left(-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}\right)=0}$

Види још

• Квантна Болцманова једначина
• Максвел – Болцман статистика
• Максвел-Јуттнерова расподела
• Болцманова расподела
• Болцманов фактор
• Раилеигх дистрибуција
• Кинетичка теорија гасова

Референце

1. Statistical Physics (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, (2008) ISBN 9780471915331
2. University Physics – With Modern Physics (12th Edition), H.D. Young, R.A. Freedman (Original edition), Addison-Wesley (Pearson International), 1st Edition: 1949, 12th Edition: (2008) ISBN 978-0-321-50130-1
3. Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, (1991) ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)
4. N.A. Krall and A.W. Trivelpiece, Principles of Plasma Physics, San Francisco Press, Inc., 1986, among many other texts on basic plasma physics
5. See:
6. Raymond A. Serway; Jerry S. Faughn; Chris Vuille (2011). College Physics, Volume 1 (9th изд.). стр. 352. ISBN 9780840068484. 
7. Nitrogen at room temperature is considered a "rigid" diatomic gas, with two rotational degrees of freedom additional to the three translational ones, and the vibrational degree of freedom not accessible.
8. Gyenis, Balazs (2017). „Maxwell and the normal distribution: A colored story of probability, independence, and tendency towards equilibrium”. Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 57: 53—65. Bibcode:2017SHPMP..57...53G. arXiv:1702.01411 . doi:10.1016/j.shpsb.2017.01.001. 
9. Boltzmann, L., "Weitere studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen." Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, 66, 1872, pp. 275–370.
10. Boltzmann, L., "Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht." Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. Abt. II, 76, 1877, pp. 373–435. Reprinted in Wissenschaftliche Abhandlungen, Vol. II, pp. 164–223, Leipzig: Barth, 1909. Translation available at: http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf Архивирано на сајту Wayback Machine (5. март 2021)
11. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, (1994) ISBN 0-07-051400-3
12. Laurendeau, Normand M. (2005). Statistical thermodynamics: fundamentals and applications. Cambridge University Press. стр. 434. ISBN 0-521-84635-8. , Appendix N, page 434

Додатна литература

• Физика за научнике и инжењере - са савременом физиком (6. издање), ПА Типлер, Г. Мосца, Фрееман, (2008) ISBN 0-7167-8964-7
• Термодинамика, од концепата до примене (друго издање), А. Схавит, Ц. Гутфингер, ЦРЦ Press (Таилор и Францис Гроуп, САД), (2009) ISBN 978-1-4200-7368-3
• Хемијска термодинамика, ДЈГ Ивес, Универзитетска хемија, Мацдоналд Тецхницал анд Сциентифиц, (1971) ISBN 0-356-03736-3
• Елементи статистичке термодинамике (друго издање), ЛК Насх, Принциплес оф Цхемистри, Аддисон-Веслеи, (1974) ISBN 0-201-05229-6
• Вард, ЦА и Фанг, Г 1999, „Израз за предвиђање флукса испаравања течности: Приступ статистичкој брзини теорије“, Пхисицал Ревиев Е, вол. 59, бр. 1, стр. 429–40.
• Рахими, П & Вард, ЦА 2005, „Кинетика испаравања: приступ теорији статистичке брзине“, Међународни часопис за термодинамику, вол. 8, бр. 9, стр. 1–14.

Максвел–Болцманова дистрибуција на Викимедијиној остави.

Спољашње везе

• "Расподела брзине Максвел" из пројекта Волфрам Демонстратионс на Матхворлд-у