Kriteri i Nyquist-it për stabilitet

Hyrje

Ky kriter është formuluar nga inxhinieri amerikan Harry Nyquist dhe mundëson, që nga nga karakteristikat frekuencore të sistemit të hapur, të konkludojmë mbi stabilitetitin e sistemit të mbyllur. Për më tepër, ky kriteri i Nyquist-it gjithashtu mundëson përcaktimin e stabilitetit relativ dhe ndikimin e parametrave të sistemit në stabilitetin e përgjithshëm të sistemit. Disa nga arsyet (përparesitë) e aplikimit të kriterit të Nyquist-it janë^[1]:

• Stabiliteti i sistemit të mbyllur mund të përcaktohet duke analizuar karakteristikat frekuencore (amplitudore dhe fazore) të sistemit të hapur, të cilat karakteristika mund të inçizohen eksperimentalisht.
• Kriteri mund të aplikohet edhe në rastet kur nuk dihen ekuacionet diferenciale që përshkruajnë sistemin
• Duke aplikuar kriterin e Nyquist-it mund të shqyrtohet stabiliteti i sistemeve me parametra të shpërndarë dhe me parametra të koncentruar.

Të theksojmë se kriteri i Nyquist-it paraqet aplikim direkt të Parimi i argumentit - parimit të argumentit për të shqyrtuar stabilitetin e sistemeve lineare të kontrollit.

Lakorja e Nyquist-it

Problemi se një sistem është stabil apo jo, thelbësisht ka të bëjë më atë se a ka sistemi pole në anën e djathtë të rrafshit kompleks. Gjatë shqyrtimeve që bëri, Nyquisti ka vërejtur se problemi mund të zgjidhet më anë të parimit të argumentit. Kjo bëhet në menyrë të atillë që lakorja e mbyllur zgjedhet e tillë që të përfshijë tërë anën e djathë të rrafshit kompleks dhe të ketë orientimin në drejtim të kundërt të akrepave të orës.^[2] Lakoren e tillë e quajmë lakorja e Nyquist-it. Natyrisht, lakorja e Nyquist-it (nga definimi i parimit të argumentit) nuk mund të kalojë nepër pole apo zero. Polet dhe zerot potenciale nepër të cilat mund të kalojë lakorja e Nyquist-it ndodhen në boshtin imagjinarë. Problemi mund të evitohet duke ju shmangur këtyre poleve the zerove me gjysmërrathë të vegjës me rreze pambarimisht të vogël (teorema e Koshiut). Andaj të gjitha polet që ndodhen në anënë e djathë të domenit kompleks do përfishen nga lakorja e Nyquist-it, duke indukuar kështu jostabilitetin e sistëmit.

Kriteri i Nyquist-it i bazuar në lokuset e sistemit me qark të hapur

Më herët thamë se kriteri i Nyquist-it mundëson caktimin e stabilitetit të sistemit të mbyllur duke analizuar sistemit me qark të hapur. Të supozojmë se Funksioni transmetues - funksioni transmetues i sistemit me qark të mbyllur është :

${\displaystyle F_{0}={\frac {Y(s)}{X(s)}}}$

andaj funksioni transmetues i sistemit me qark të mbyllur në rastin e riveprimit njësi do jetë:

${\displaystyle F(s)={\frac {F_{s}(s)}{1+F_{0}(s)}}}$

ku ekuacioni karakteristik do jetë:

${\displaystyle A(s)=1+F_{0}(s)={\frac {a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+...}{b_{n}s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+...}}=0}$^[3]

Stabiliteti i sistemit të mbyllur do varet nga sistemi i hapur. Dallojmë rastet:

Sistemi i hapur stabil

Diagrami polar i një sistemi stabil

Sipas kriterit të Mihajllovit sistemi i hapur do jetë stabil kur ndryshimi i argumentit të polinomit karakteristik të jetë:

${\displaystyle \Delta argX(jw)=n{\frac {\pi }{2}}}$ për ${\displaystyle 0\leq w<\infty }$

Me fjalë tjera, sistemi i hapur do jetë stabil kur hodografi i Mihajllovit të kalojë aq kuadrante sa është rendi i ekuacionit karakteristik. Në rastin e tillë, që edhe sistemi i mbyllur të jetë stabil poashtu duhet që ndryshimi i argumentit të polinomit karakteristik të sistemit të mbyllur poashtu të jetë ${\displaystyle n{\frac {\pi }{2}}}$ , ku ${\displaystyle n}$ është rendi i sistemit. Pra:

${\displaystyle \Delta arg[Y(jw)+X(jw)]=n{\frac {\pi }{2}}}$

duke pasur parasysh ekuacionet paraprake do fitojmë shprehjen:

${\displaystyle \Delta argA(jw)=\Delta arg[Y(jw)+X(jw)]-\Delta argY(jw)}$

Andaj mund të themi se sistemi i mbyllur do jetë stabil atëherë kur ndërrimi i argumentit të vektorit:

${\displaystyle \Delta argA(jw)=1+F_{0}(jw)=0}$

kur frekuenca ndërron vlerën nga zero në infinit. Thënë ndryshe, sistemi i mbyllur do jetë stabil nëse diagrami i Nyquist-it për sistemin në fjalë nuk përfshin brenda pikën kritike ${\displaystyle (-1,j0)}$

Sistemi i hapur jostabil

Sistemi i hapur mund të jetë jostabil dhe të përmbajë ${\displaystyle m}$ pole në anën e djathë të rrafshit kompleks nëse:

• ka më shumë riveprime plotësuese
• përmban një ose më shumë elemente jostabile

Në bazë të parimit të argumentit do kemi:

${\displaystyle \Delta A(jw)=(n-2m){\frac {\pi }{2}}}$

nga analiza paraprake për vektorin ${\displaystyle A(jw)}$ do kemi:

${\displaystyle \Delta arg[Y(jw)+X(jw)]=n{\frac {\pi }{2}}}$

respektivisht:

${\displaystyle \Delta argA(jw)=\Delta arg[Y(jw)+X(jw)]-\Delta argY(jw)=n{\frac {\pi }{2}}-(n-2m){\frac {pi}{2}}={\frac {m}{2}}2\pi }$

Nga shprehja paraprake mund të nxjerrim kushtin që sistemi i mbyllur të jetë stabil duhet që diagrami polar i atij sistemi ta përfshijë ${\displaystyle {\frac {m}{2}}}$ pikën kritike ${\displaystyle (-1,j0)}$ në kah të kundërt me akrepat e orës.

Sistemi i hapur në kufi të stabilitetit

Për sistemin me qark të hapur do themi se ndodhet në kufi të stabilitetit kur funksionit transmetues i tij ka formën:

${\displaystyle F_{0}(s)={\frac {Y(s)}{s^{m}X(s)}}}$

ku ${\displaystyle m}$ paraqet rendin e astatismit të sistemit, poashtu edhe numin e integratorëve në sistem. Pra kemi të bëjmë më pole të pastërta imagjinare (pra ndodhen në boshtin imagjinar) që sistemit të hapur i japin karakterin oscilues. Siç thamë tek përkufizimi i lakores së Nyquist-it, ajo nuk guxon të kalojë nepër pole apo zero. Andaj në rastin tonë polet astatike do i tejkalojmë më gjysmërrathë të vegjël, dhe funksioni transmetues merr formën:

${\displaystyle F_{0}(jw)={\frac {Y(jw)}{(jw+\beta )^{m}X(jw)}}}$

ku ${\displaystyle \beta }$ paraqet madhësi pambarimisht të vogël

Analiza e mëtutjeshme për caktimin e stabilitetit të sistemit të mbyllur shkon sikurse në rastin kur sistemi i hapur ishte stabil, i cili rast është përshkruar më lartë. Ndikimi i astatizmit në sistem është zhvendosja e diagramit polar për aq kuadrantë sa është rendi i astatizmit të sistemit.^[4][5]

Shiko Gjithashtu

• Stabiliteti i sistemve linare të kontrollit
• Kriteri i Hurwitz-it
• Kriteri i Routh-it
• Kriteri i Mihajllovit për stabilitet

Referimet

1. A Skeja, Sistemet e Rregullimit Automatik, Ligjërata të autorizuara, Fiek 2010, faqe 94
2. F Golnaraghi & B C Kuo Automatic Control Systems, Ninth Edition, faqe 434
3. A Grapci, Rregullimi Automatik i Sistemeve Lineare (1985), faqe 151
4. F Golnaraghi & B C Kuo Automatic Control Systems, Ninth Edition, faqe 30
5. J D'Azzo & C Houpis & S Sheldon, LINEAR CONTROL SYSTEM ANALYSIS AND DESIGN WITH MATLAE Fifth Edition, Revised and Expanded (2003)