Necentralna porazdelitev t

Necentralna t porazdelitev
oznaka
parametri	${\displaystyle \nu \!}$ prostostne stopnje (realno število) ${\displaystyle \mu \!}$ parameter necentralnosti (realno število)
interval	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\displaystyle {\frac {\nu ^{\nu /2}\exp \left\{-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(t^{2}+\nu )}}\right\}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu /2)2^{(\nu -1)/2}(t^{2}+\nu )^{(\nu +1)/2}}}}$ ${\displaystyle \times \int \limits _{0}^{\infty }x^{\nu }\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\mu t}{\sqrt {t^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right\}dx}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
pričakovana vrednost	${\displaystyle \mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}{\text{ za }}\nu >1\!}$ ${\displaystyle {\text{ za }}\nu \leq 1{\text{ ne obstoja }}\!}$
mediana
modus
varianca	${\displaystyle {\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}{\text{ za }}\nu >2\!}$ ${\displaystyle {\text{ za }}\nu \leq 2{\text{ ne obstoja }}\!}$
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Necentralna t porazdelitev je zvezna verjetnostna porazdelitev, ki je posplošitev Študentove t porazdelitve.

Definicija

Študentova t porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

${\displaystyle {\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu \ }}}=Z{\sqrt {\nu /V}}}$

kjer je

• ${\displaystyle Z\!}$ normalno porazdeljena slučajna spremenljivka s pričakovano vrednostjo ${\displaystyle 0\!}$ in varianco ${\displaystyle 1\!}$
• ${\displaystyle V\!}$ slučajna spremenljivka, ki ima porazdelitev porazdelitev hi-kvadrat z ${\displaystyle \nu \!}$ prostostnimi stopnjami
• ${\displaystyle Z\!}$ and ${\displaystyle V\!}$ sta statistično neodvisni slučajni spremenljivki.

Lastnosti necentralne t porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za necentralno t porazdelitev je ^[1]

${\displaystyle f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}\exp \left\{-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(t^{2}+\nu )}}\right\}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu /2)2^{(\nu -1)/2}(t^{2}+\nu )^{(\nu +1)/2}}}}$

${\displaystyle \times \int \limits _{0}^{\infty }x^{\nu }\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\mu t}{\sqrt {t^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right\}dx}$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je za ${\displaystyle \nu >1\!}$ enaka

${\displaystyle \mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\!}$ ,

za ${\displaystyle \nu \leq 1\!}$ ne obstoja

Varianca ^[2]

Varianca je za ${\displaystyle \nu >2\!}$ enaka

${\displaystyle {\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}\!}$ ,

za ${\displaystyle \nu \leq 2\!}$ ne obstoja

Momenti ^[3]

K-ti moment je za ${\displaystyle \nu >k\!}$ enak

${\displaystyle \left({\frac {\nu }{2}}\right)^{\frac {k}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu -k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}{\mbox{exp}}\left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right){\frac {d^{k}}{d\mu ^{k}}}{\mbox{exp}}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)\!}$

za ${\displaystyle \nu \leq k\ \!}$ ne obstoja.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar je ${\displaystyle \mu =0\!}$ postane necentralna t porazdelitev enaka Študentovi t porazdelitvi.
• Kadar ima slučajna spremenljivka ${\displaystyle Z=T^{2}\!}$ necentralno F porazdelitev, potem ima ${\displaystyle T\!}$ necentralno t porazdelitev.
• Slučajna spremenljivka ${\displaystyle Z\!}$ ima normalno porazdelitev, če velja ${\displaystyle Z=\lim _{\nu \to \infty }T\!}$, kjer pa ima ${\displaystyle T\!}$ necentralno t porazdelitev.

Opombe in sklici

1. L. Scharf, Statistical Signal Processing, (Massachusetts: Addison-Wesley, 1991), p.177.
2. »nctstat (Statistics Toolbox)«. Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 28. februarja 2009. Pridobljeno 3. marca 2010.
3. (Hogben D, Pinkham RS and Wilk MB. The moments of the non-central t-distribution. Biometrika, 1961, 48, 465-468)

Zunanje povezave

• Vzorčni primeri in simulacija (angleško)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev