Množenje vektorja s številom

Množenje vektorja s številom

Množenje vektorja s številom (tudi množenje vektorja s skalarjem) je matematična operacija, ki številu (skalarju) ${\displaystyle n}$ in vektorju ${\displaystyle {\vec {a}}}$ priredi vektor ${\displaystyle n{\vec {a}}}$.

Opozorilo: Množenje vektorja s skalarjem ni isto kot skalarni produkt – teh dveh računskih operacij ne smemo zamenjevati.

Definicija

Rezultat množenja vektorja ${\displaystyle {\vec {a}}}$ s številom ${\displaystyle n}$ je vektor ${\displaystyle n{\vec {a}}}$, določen z naslednjimi lastnostmi:

• Vektor ${\displaystyle n{\vec {a}}}$ je vzporeden z danim vektorjem ${\displaystyle {\vec {a}}}$.
• Dolžina vektorja ${\displaystyle n{\vec {a}}}$ je ${\displaystyle |n|}$-krat tolikšna kot dolžina vektorja ${\displaystyle {\vec {a}}}$.
• Če je ${\displaystyle n>0}$, je ${\displaystyle n{\vec {a}}}$ enako orientiran kot ${\displaystyle {\vec {a}}}$; če je ${\displaystyle n<0}$, pa je ${\displaystyle n{\vec {a}}}$ orientiran nasprotno kot ${\displaystyle {\vec {a}}}$.
• Če množimo vektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$ s številom ${\displaystyle 0}$, dobimo ničelni vektor ${\displaystyle {\vec {0}}}$.

Množenje vektorja s (pozitivnim) številom torej pomeni razteg ali skrčitev vektorja, njegova smer pa ostane nespremenjena.

Lastnosti

Množenje vektorja s številom ima naslednje računske lastnosti:

• Distributivnost glede na seštevanje števil: ${\displaystyle (n+m){\vec {a}}=n{\vec {a}}+m{\vec {a}}}$
• Distributivnost glede na seštevanje vektorjev: ${\displaystyle n({\vec {a}}+{\vec {b}})=n{\vec {a}}+n{\vec {b}}}$
• Homogenost: ${\displaystyle n(m{\vec {a}})=(nm){\vec {a}}=m(n{\vec {a}})}$
• Nevtralni element je število 1: ${\displaystyle 1\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}}$

V običajnem trirazsežnem prostoru lahko vektor zapišemo kot:

${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}}$

Pri množenju takega vektorja številom ${\displaystyle n}$ se vse tri koordinate pomnožijo z ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle n{\vec {a}}={\begin{bmatrix}na_{1}\\na_{2}\\na_{3}\end{bmatrix}}}$

Posplošitve

Računsko operacijo množenje vektorja s skalarjem v matematiki posplošimo tudi na večrazsežne vektorje. Pri množenju takega vektorja številom ${\displaystyle n}$ se vse koordinate (komponente) pomnožijo z ${\displaystyle n}$.

Posplošimo lahko tudi pojem "skalar" oziroma "število": namesto običajnih realnih števil lahko uporabimo na primer kompleksna števila ali tudi elemente kakšnega drugega matematičnega obsega.