Mali kubikubooktaeder

Mali kubikubooktaeder
Vrsta	uniformni zvezdni polieder
Elementi	F = 20, E = 48, V =24 (${\displaystyle \chi \,}$ = -4)
Stranske ploskve po stranicah	8{3}+6{4}+6{8}
Wythoffov simbol	3/2 4 | 4 3 4/3 | 4
Simetrijska grupa	Oh, [4,3], ^*432
Bowerjeva okrajšava	Socco
Sklici	U13, C38, W69
mali heksakronski ikozitetraeder (dualni polieder)	4.8.3/2.8 slika oglišč

Mali kubikubooktaeder je nekonveksni uniformni polieder z oznako (indeksom) U₁₃. Ima dvajset stranskih ploskev: 8 trikotnikov, 6 kvadratov in 6 osemkotnikov. Ima tudi 24 oglišč. Njegova slika oglišč je križni štirikotnik.

Sorodni poliedri

Ima enako razvrstitev oglišč kot zvezdna prisekana kocka. Razen tega ima istorazvrstitev robov kot rombikubooktaeder, ki ima skupne trikotne stranske ploskve in mali rombiheksaeder, ki pa ima skupne osemkotne stranske ploskve.

rombikubooktaeder

mali kubikubooktaeder

mali rombiheksaeder

zvezdna prisekana kocka

Sorodna tlakovanja

Kot že Eulerjeva karakteristika nakazuje, je mali kubikubooktaeder toroidni polieder, ki ima rod enak 3. Tako ga lahko obravnavamo kot imerzijo z rodom 3 ploskve poliedra v komplementu njegovih 24 oglišč v trirazsežnem prostoru. Pripadajoči polieder določa uniformno tlakovanje te ploskve tako, da je mali kubikubooktaeder uniformni polieder. V jeziku abstraktnih politopov je mali kubikubooktaeder zvesta realizacija tega toroidnega poliedra. To pa pomeni, da je to neizrojeni polieder ter ima s tem isto grupo simetrije. Vsak avtomorfizem površine z rodom 3 s tako vrsto tlakovanja se lahko uresniči z izometrijo evklidskega prostora.

Višji rodovi (rod je enak 2 ali več) dopuščajo negativno stalno ukrivljenost. Univerzalni prostor Riemannove ploskve je hiperbolična ravnina. Pripadajoče tlakovanje hiperbolične ravnine ima sliko oglišč enako 3.6.4.8, kar je trikotnik, kvadrat in osemkotnik. Kadar ima ploskev metrično ukrivljenost -1, ima prekrivna preslikava lokalno izometrijo in tako, da je abstraktna slika oglišč enaka. Tlakovanje lahko označimo z Wythoffovim simbolom 3 4| 4, ki je prikazan na zgornji desni sliki.

Razen tega je pri razdelitvi vsake stranske ploskve na dva trikotnika in vsake osemkotne stranske ploskve na šest trikotnikov, lahko mali kubikubooktaeder predstavimo z nepravilnim barvanjem v kombinaciji s pravilnim tlakovanjem ploskve z rodom 3 s 56 enakostraničnimi trikotniki, ki se srečajo na 24 ogliščih, vsak pa ima rod 7 ^[1]. Ta vrsta tlakovanja je pomembna , ker je to tlakovanje Kleinovega kvartika. Ploskev z rodom 3 z najbolj simetrično metriko ter grupa avtomorfizma z ohranjajočo orientacijo te ploskve je izomorfna s projektivno linearno grupo PSL(2,7) in enakovredno z GL(3,2).

Pripadajoče tlakovanje hiperbolične ravnine je trikotno tlakovanje reda 7. Grupa avtomorfizma Kleinovega kvartika nam da Mattieujevo grupo M₂₄ ^[2]

Tlakovanje 3 4 ǀ 4 predstavlja splošno pokritje za mali kubikubooktaeder.

Mali kubikubooktaeder se lahko prikaže tudi kot potopitev (imerzija) poliedra in barvanje Kleinovega kvartika ^[1]. To pa je kvocientno trikotnega tlakovanja reda 7.

Glej tudi

• sestav petih malih kubikobooktaederov
• seznam uniformnih poliedrov

Opombe in sklici

1. Vsaka stranska ploskev poliedra je v tlakovanju sestavljena iz večjega števila stranskih ploskev. To pa pomeni, da "barvanje" dveh trikotnih stranskih ploskev vsebuje kvadratno stransko ploskev. To je razloženo na tej strani Arhivirano 2016-03-03 na Wayback Machine.
2. Richter, David A http://homepages.wmich.edu/~drichter/mathieu.htm Arhivirano 2010-01-16 na Wayback Machine. Pridobljeno 15. aprila 2010.

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Small Cubicuboctahedron«. MathWorld.
• Mali kubikubooktaeder-apleti za prikaz poliedrov (angleško)
• Mali kubikubooktaeder (angleško)
• Sestav malega kubikubooktaedra in malega heksakronskega ikozitetraedra (angleško)
• Povečanje malega kubikubooktaedra (angleško)
• Mali kubikubooktaeder na MathConsult-dr.R.Mäder] (angleško)
• Poliedri (glej 13) (angleško)
• Kako narediti polieder (angleško)