Imerzija (matematika)

Kleinova steklenica v trirazsežnem prostoru.

Imerzija (tudi pogreznjenost ali potopitev) je preslikava ${\displaystyle f:X\to Y}$ enega topološkega prostora v drugega. To je diferenciabilna preslikava med diferenciabilnimi mnogoterostmi katerih odvod je povsod injektiven.

Lahko tudi rečemo, da je ${\displaystyle f\,}$ imerzija, če je rang enak razsežnosti ${\displaystyle M\,}$. To lahko zapišemo kot

${\displaystyle \operatorname {rank} \,f=\dim M.}$

Ni potrebno, da je preslikava ${\displaystyle f\,}$ injektivna, ampak samo njen odvod.

Soroden pojem je vložitev. Gladka vložitev je injektivna vložitev ${\displaystyle f:M\to N\,}$, ki je tudi topološka vložitev, tako, da je ${\displaystyle M\,}$ difeomorfen svoji sliki v ${\displaystyle N\,}$. Imerzija je lokalna vložitev, kar pomeni, da za kakršnokoli točko ${\displaystyle x\epsilon M\,}$ obstoja okolica tako, da je ${\displaystyle U\subset M\,}$ za x in, da je ${\displaystyle f:U\to N\,}$ vložitev ter obratno, da je lokalna vložitev imerzija.

Če je ${\displaystyle M\,}$ kompakten, je injektivna imerzija vložitev. Kadar pa ${\displaystyle M\,}$ ni kompakten, injektivna imerzija ni vložitev.

Zgledi

• Kleinova steklenica in vse ostale neorientabilne zaprte ploskve so imerzija v trirazsežnem prostoru, ne moremo jih pa vanj potopiti.
• Krivulja roža, ki ima ${\displaystyle k}$ cvetnih listov je imerzija krožnice v ravnini s samo eno točko k-terice.
• Boyjeva ploskev je imerzija realne projektivne ravnine v trirazsežnem prostoru,
• Morinova ploskev je imerzija sfere

• 
  Boyjeva ploskev
• 
  Morinova ploskev

Glej tudi

• submerzija