Newtonov polynóm

Newtonov interpolačný polynóm alebo presnejšie interpolačný polynóm v Newtonovom tvare alebo skrátene len Newtonov polynóm je v numerickej matematike polynóm pomenovaný podľa Isaaca Newtona interpolujúci danú množinu bodov, ktorý má špecifický tvar, nazývaný Newtonov tvar.

Jedna zo základných viet teórie interpolácie hovorí, že interpolačný polynóm, pre daný stupeň polynómu a danú množinu interpolačných uzlov, je len jeden. Z toho vyplýva, že Newtonov interpolačný polynóm a napr. Lagrangeov interpolačný polynóm udávajú pre rovnaký stupeň rovnakú polynomiálnu funkciu a líšia sa len spôsobom jej zápisu - Newtonov polynóm využíva zápis v Newtonovom tvare, kým Lagrangeov polynóm zas zápis v Lagrangeovom tvare.

Definícia

Nech je daná množina k + 1 bodov

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

kde žiadne dve hodnoty ${\displaystyle x_{j}}$ nie sú rovnaké. Potom Newtonov polynóm stupňa k interpolujúci danú množinu bodov má tvar lineárnej kombinácie tzv. Newtonových bázových polynómov ${\displaystyle n_{j}(x)\,}$, teda

${\displaystyle N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x),}$

kde Newtonove bázové polynómy majú tvar

${\displaystyle n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i}).}$

V ďalšom procese hľadania vyjadrenia Newtonovho interpolačného polynómu je podstatné vyjadriť koeficienty ${\displaystyle a_{j}}$ tak, aby polynóm skutočne interpoloval danú množinu bodov.

Označme preto ${\displaystyle p_{n-1}^{(0,n-1)}\,}$ polynóm stupňa n-1 interpolujúci body ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$ a ${\displaystyle p_{n-1}^{(1,n)}\,}$ polynóm stupňa n-1 interpolujúci body ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$. Teda platí

${\displaystyle {\begin{array}{ccccl}p_{n-1}^{(0,n-1)}(x_{i})&=&y_{i}&\qquad &{\text{pre }}i\in \{0,\ldots ,n-1\}\\p_{n-1}^{(1,n)}(x_{i})&=&y_{i}&\qquad &{\text{pre }}i\in \{1,\ldots ,n\}\end{array}}}$

Ľahko je možné overiť, že polynóm

${\displaystyle p_{n}(x)={\frac {1}{x_{n}-x_{0}}}\left[(x_{n}-x)p_{n-1}^{(0,n-1)}(x)+(x-x_{0})p_{n-1}^{(1,n)}(x)\right]}$

je interpolačný polynóm pre danú množinu n+1 bodov. Označme teraz

${\displaystyle {\begin{array}{cclcl}a_{n}&=&[x^{n}]p_{n}(x)&\qquad &=:f[x_{0},\ldots ,x_{n}],\\a_{n-1}^{0}&=&[x^{n-1}]p_{n-1}^{(0,n-1)}(x)&\qquad &=:f[x_{0},\ldots ,x_{n-1}],\\a_{n-1}^{1}&=&[x^{n-1}]p_{n-1}^{(1,n)}(x)&\qquad &=:f[x_{1},\ldots ,x_{n}],\end{array}}}$

tak platí

${\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{n}]={\frac {f[x_{1},\ldots ,x_{n}]-f[x_{0},\ldots ,x_{n-1}]}{x_{n}-x_{0}}}.\,}$

Ak navyše položíme ${\displaystyle a_{0}=f[x_{0}]=f(x_{0}),}$ dostávame vzťah pre výpočet koeficientov Newtonovho interpolačného polynómu, ktoré je tak možné efektívne vypočítať technikou dynamického programovania.

Externé odkazy

• Module for the Newton Polynomial (po anglicky)
• Newtonove polynómy (po anglicky)
• Newtonove polynómy - Wolfram MathWorld (po anglicky)
• Numerické metódy matematiky