Lagrangeov polynóm

Lagrangeov polynóm, pomenovaný podľa Josepha Louisa Lagrangea, je v numerickej matematike interpolujúci polynóm pre danú množinu bodov v Lagrangeovom tvare. V roku 1779 ho objavil Edward Waring a v roku 1783 ho znovuobjavil Leonhard Euler.

Je povšimnutia hodné, že pre danú množinu bodov existuje len jeden polynóm (najmenšieho možného stupňa), ktorý interpoluje dané body. Preto je správnejšie o Lagrangeovom polynóme hovoriť ako o Lagrangeovom tvare interpolujúceho polynómu, než o Lagrangeovom interpolujúcom polynóme.

Na obrázku je kubický Lagrangeov interpolujúci polynóm L(x) (zobrazený čiernou farbou) pre body (−9, 5), (−4, 2), (−1, −2) a (7, 9). Tento polynóm je súčtom konštantných faktorov bázických polynómov y₀ℓ₀(x), y₁ℓ₁(x), y₂ℓ₂(x) a y₃ℓ₃(x). Interpolujúci polynóm prechádza cez všetky štyri body, každý z bázických polynómov prechádza jedným z daných bodov a na x-ových súradniciach daných ostatnými bodmi má hodnotu 0.

Definícia

Nech je daná množina k + 1 bodov

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

kde žiadne dve hodnoty ${\displaystyle x_{j}}$ nie sú rovnaké. Potom interpolujúci polynóm v Lagrangeovom tvare pre túto množinu bodov je lineárna kombinácia

${\displaystyle L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)}$

Lagrangeových bázických polynómov

${\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{f=0,\,f\neq j}^{k}{\frac {x-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}.}$

Je povšimnutia hodné, že za predpokladu, že žiadne dve hodnoty ${\displaystyle x_{i}}$ nie sú rovnaké (a to ani nemôžu byť, keďže by daná úloha nedávala zmysel), platí ${\displaystyle x_{j}-x_{f}\neq 0}$, čiže daný výraz je vždy dobre definovaný.

Dôkaz

Aby funkcia L(x) naozaj bola hľadaným interpolujúcim polynómom, musí platiť, že je to polynóm najviac k teho stupňa, pričom pre každé ${\displaystyle 0\leq j\leq k}$ musí platiť ${\displaystyle L(x_{j})=y_{j}}$.

Ak toto tvrdenie platí pre všetky j, hovoríme, že daný polynóm je riešením interpolačného problému.

Dokážeme teda dané tvrdenie:

1. Vo výraze ${\displaystyle \ell _{j}(x)}$ je k členov súčinu, pričom každý člen obsahuje práve x práve raz, teda L(x) (ktorý je tým pádom súčtom polynómov k-teho stupňa) musí byť tiež polynóm k-teho stupňa.
2. ${\displaystyle \ell _{j}(x_{i})=\prod _{f=0,\,f\neq j}^{k}{\frac {x_{i}-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}}$

Skúmajme teraz, čo sa stane, ak rozvinime tento súčin. Keďže súčin vynecháva hodnotu ${\displaystyle f=j}$, ak ${\displaystyle i=j}$, tak všetky členy sú rovné ${\displaystyle {\frac {x_{j}-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}=1}$ (lebo stále platí ${\displaystyle x_{j}\neq x_{f}}$). Ak ${\displaystyle i\neq j}$, jeden z členov súčinu, konkrétne ten, pre ktorý platí ${\displaystyle f=i}$, bude mať hodnotu ${\displaystyle {\frac {x_{i}-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}=0}$, a teda vynuluje celý súčin. Čiže platí

${\displaystyle \ell _{j}(x_{i})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{ak }}j=i\\0,&{\mbox{ak }}j\neq i\end{matrix}}\right.=\delta _{ji}}$

kde ${\displaystyle \delta _{ij}}$ is the Kroneckerov symbol. Teda:

${\displaystyle L(x_{i})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x_{i})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\delta _{ji}=y_{i}.}$

To ale znamená, že L(x) je polynóm stupňa najviac k, pričom platí ${\displaystyle L(x_{i})=y_{i}}$. Navyše, takýto interpolujúci polynóm je určený jednoznačne.

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Lagrange polynomial na anglickej Wikipédii.

Externé odkazy

• Článok na ALGLIB o polynomiálnej interpolácii s implementáciami metódy v jazykoch C++, C#, VBA a Pascal (po anglicky).
• Článok o Lagrangeových polynómoch na Wolfram MathWorld (po anglicky).
• Rôzne materiály Archivované 2006-09-01 na Wayback Machine k Lagrangeovej interpolácii (po anglicky).