Mechanická práca

Mechanická práca^[1] alebo práca^[2] je fyzikálna veličina, ktorá je definovaná (trochu zjednodušene povedané) ako súčin zložky sily v smere pohybu a posunutia (resp. dĺžky dráhy), resp. inými slovami: skalárny súčin (celej) sily a posunutia (resp. dĺžky dráhy).

Symbol veličiny

Symbol veličiny je A alebo W (angl. work), zastarano aj L. Napríklad norma STN ISO 80000-4 uvádza oba symboly, pričom ale na prvom mieste uvádza symbol A.

Jednotka

Základná jednotka je joule, značka J. Ďalšie jednotky sú napr.: kilojoule (kJ = 1000 J), megajoule (MJ = 1 000 000 J), gigajoule (GJ = 1 000 000 000 J).

Vzťah k energii

Pri mechanickom deji v izolovanej sústave vyjadruje mechanická práca odovzdávanie mechanickej energie medzi telesami. Teleso, ktoré vykonáva prácu, stráca mechanickú energiu, teleso, na ktoré je vykonávaná práca, mechanickú energiu získava. Mechanická práca ako veličina udáva veľkosť tejto odovzdanej energie.

Výpočet a definície

Mechanická práca (Namiesto ${\displaystyle {\vec {s}}}$ by malo byť na obrázku správnejšie napísané ${\displaystyle d{\vec {r}}}$)

Zdroje kapitoly:^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12]}

Vysvetlivky

Nasledujú vysvetlivky (x tu reprezentuje ľubovoľné písmeno):

• x (čiže písmeno písané tučným písmom) znamená vektor x; alternatívne sa zapisuje ako ${\displaystyle {\vec {x}}}$ (čiže so šípkou nad písmenom).
• Δx znamená zmena x
• dx znamená veľmi malá zmena x a odborne sa nazýva aj diferenciál, diferenciálna zmena, elementárna zmena, infinitezimálna zmena a podobne
• |x| znamená veľkosť x; alternatívne (a veľmi často) sa zapisuje jednoducho ako x alebo ako x (teda kurzívou); konkrétne v tomto článku teda:
  • |F| možno zapísať aj ako F alebo F,
  • |dr| aj ako dr alebo dr ,
  • |F_s| aj ako F_s alebo F_s.
• r znamená polohový vektor
• Δr znamená zmena polohového vektora a volá sa aj posunutie
• dr znamená veľmi malá zmena polohového vektora a volá sa aj veľmi malé posunutie; vždy platí |dr|= ds; namiesto dr sa niekedy (veľmi nevhodne) používa značka ds; porov. aj vyššie vysvetlenie dx
• s znamená jednorozmerná polohová súradnica (na trajektórii pohybu), známejšia je ale pod názvami dĺžka dráhy alebo dráha
• Δs znamená zmena jednorozmernej polohovej súradnice (na trajektórii pohybu), známejšia je ale pod názvami zmena dĺžky dráhy, dráha, prejdená dráha, úsek dráhy, dĺžka úseku dráhy a pod.; namiesto Δs sa niekedy (menej vhodne) používa značka s alebo (nevhodne) |s| (Technická poznámka: Vo wikipédii ${\displaystyle ds}$ niekedy na obrazovke vyzerá, akoby písmeno s bolo tučným písmom, v skutočnosti je tu písmeno s písané normálnym písmom)
• ds znamená veľmi malá zmena jednorozmernej polohovej súradnice, známejšia je ale pod názvami veľmi malá zmena dĺžky dráhy, veľmi malá dráha, veľmi malá prejdená dráha, veľmi malý úsek dráhy, veľmi malá dĺžka úseku dráhy atď.; porov. aj vyššie vysvetlenie dx
• F znamená sila (pôsobiaca na teleso)
• α znamená uhol zvieraný medzi F a dr
• F_s je zložka sily F pôsobiaca v rovnakom smere ako dr, čiže v rovnakom smere ako je smer pohybu telesa; pre jej veľkosť platí vzorec |F_s| = |F|.cosα, ktorý vyplýva zo základnej definície kosínusu (cosα = priľahlá odvesna:prepona, pričom v našom prípade je |F| prepona a |F_s| je priľahlá odvesna)
• B = (nejaký) bod na trajektórii pohybu
• t = čas
• ₀ znamená na začiatku pohybu telesa, ₁ znamená po prvom veľmi malom posunutí, ₂ znamená po druhom veľmi malom posunutí..._n znamená na konci pohybu telesa.
• ${\displaystyle \cdot }$ znamená skalárny súčin vektorov; pre skalárny súčin akýchkoľvek dvoch vektorov x a y zvierajúcich akýkoľvek uhol θ platí vzorec ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =|\mathbf {x} |\cos \theta |\mathbf {y} |}$ (v našom prípade je x = F, y = dr a θ = α ); pozor na zámenu: znak . (alebo alternatívne: žiaden znak) znamená „normálny“ súčin, kým znak ${\displaystyle \cdot }$ znamená skalárny súčin, napr. a.b alebo ab znamená normálny súčin, kým ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ znamená skalárny súčin

Porovnaj aj napr. Rýchlosť (fyzikálna veličina)#Vysvetlivky značiek použitých vo vyššie uvedených vzorcoch

Definícia prostredníctvom sily a posunutia

Najprv sú uvedené odborné vzorce, intuitívne vysvetlenie je uvedené nižšie.

Všeobecne platný vzorec

Práca je definovaná nasledujúcim vzorcom:

${\displaystyle W=\int _{B_{0}}^{B_{n}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathbf {F_{1}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r_{1}} +\mathbf {F_{2}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r_{2}} +...+\mathbf {F_{n}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r_{n}} }$ [vzorec č. 1]

Dosadením vzorca pre skalárny súčin vektorov (pozri vyššie Vysvetlivky) dostaneme:

${\displaystyle W=\int _{B_{0}}^{B_{n}}|\mathbf {F} |\cos \alpha |d\mathbf {r} |=|\mathbf {F_{1}} |\cos \alpha _{1}|d\mathbf {r_{1}} |+|\mathbf {F_{2}} |\cos \alpha _{2}|d\mathbf {r_{2}} |+...+|\mathbf {F_{n}} |\cos \alpha _{n}|d\mathbf {r_{n}} |}$ [vzorec č. 2]

Keďže všeobecne platí, že |dr| = ds (ale mimochodom neplatí aj |Δr| = Δs - vysvetlenia pozri napr. v článku rýchlosť (fyzikálna veličina)), možno napísať aj:

${\displaystyle W=\int _{s_{0}}^{s_{n}}|\mathbf {F} |\cos \alpha ds=|\mathbf {F_{1}} |\cos \alpha _{1}ds_{1}+|\mathbf {F_{2}} |\cos \alpha _{2}ds_{2}+...+|\mathbf {F_{n}} |\cos \alpha _{n}ds_{n}}$ [vzorec č. 3]

Vzorec č. 3 možno mimochodom zapísať aj v tvare:

${\displaystyle |\mathbf {F} |\cos \alpha ={\tfrac {dW}{ds}}}$, čiže zložka sily v smere pohybu je derivácia práce podľa “dráhy”

Vzhľadom na |F_s| = |F|.cosα (pozri vyššie Vysvetlivky), možno samozrejme vo vzorcoch č. 2 a č. 3 výraz |F|.cosα vždy nahradiť výrazom |F_s|.

Výraz, pre ktorý sa vo vzorcoch č. 1, 2 a 3 tvorí súčet (integrál), čiže výraz ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =|\mathbf {F} |\cos \alpha |d\mathbf {r} |=|\mathbf {F} |\cos \alpha ds}$, sa volá elementárna práca a značí sa aj ako dW.

Vzorec pre priamočiary pohyb a konštantnú silu

Pri špeciálnom prípade priamočiareho pohybu telesa s konštatným F sa vyššie uvedené vzorce č, 1 a 2 (a 3) zredukujú na tieto tvary:

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} =|\mathbf {F} |\cos \alpha |\Delta \mathbf {r} |=|\mathbf {F} |\cos \alpha \Delta s}$ [vzorec č. 4]

pričom – ako vidno- nielenže sa vzorec zmení zo súčtu (resp. integrálu) na jeden výraz, ale navyše platí aj |Δr| = Δs. Okrem toho, tak ako vyššie, aj tu je samozrejme vždy možné nahradiť výraz |F|.cosα výrazom |F_s|.

Ak je pohyb priamočiary s konštantným F a navyše je α = 0 (čiže celá F pôsobí v rovnakom smere ako je smer pohybu telesa) možno vzorec ešte viac zredukovať, a to takto:

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \Delta \mathbf {r} =|\mathbf {F} ||\Delta \mathbf {r} |=|\mathbf {F} |\Delta s}$ [vzorec č. 5]

Vysvetlenie vzorca

Vzorce č. 1 až 5 sa obyčajne v literatúre vysvetľujú nasledujúcim spôsobom, ktorý je vlastne opačným postupom než je použitý vyššie: Pri práci s naklonenou rovinou, pákami, kladkami a lanami sa v praxi ukázalo, že použitie týchto pomôcok síce má tú výhodu, že je s týmito pomôckami na zdvihnutie telesa potrebné vynaložiť menej sily než pri normálnom vertikálnom zdvihnutí telesa, lenže na druhej strane má nevýhodu v tom, že s týmito pomôckami telesom zároveň treba prejsť dlhšiu dráhu než pri normálnom vertikálnom zdvihnutí. Platí to aj opačne: dá sa skrátiť dráha, potom však ale treba vynaložiť väčšiu silu. Ukázalo sa teda, že pri podobných premiestňovaniach telies existuje veličina “sila krát dĺžka dráhy”, ktorá za daných okolností ostáva rovnaká a je teda vhodná ako miera celkovej potrebnej “námahy”. Táto veličina potom dostala meno práca. Pre jej vzorec platí:

• Najjednoduchšia situácia je priamočiary pohyb telesa s konštantnou silou, ktorá pôsobí v presne v smere pohybu; potom je vzorec práce W = |F|.Δs , t. j. „sila krát dĺžka dráhy“.
• Ak je síce pohyb telesa priamočiary s konštantnou silou, no táto sila nepôsobí v smere pohybu, ale pôsobí pod uhlom α voči smeru pohybu, tak treba namiesto celej sily (F) použiť len tú jej zložku, ktorá pôsobí presne v smere pohybu (F_s), čiže vzorec sa zmení na W = |F_s|. Δs = |F|.cosα. Δs.
• Ak situáciu ďalej skomplikujeme tak, že pohyb už nie je priamočiary a/alebo sila F nie je konštantná (t.j. nemá konštantnú veľkosť a/alebo konštantný smer), tak si musíme celú trajektóriu pohybu rozdeliť na veľmi malé úseky, ktoré sú tak malé, že v každom z týchto úsekov sa dá približne použiť vyššie uvedený vzorec W = |F|.cosα. Δs (inak povedané: v rámci každého z týchto úsekov približne platí, že pohyb telesa je priamočiary a sila je konštantná) a následne všetky tieto veľmi malé úseky sčítame (takéto sčítanie sa v matematike dá vyjadriť aj pomocou integrálu). Matematicky teda W = |F₁|.cosα₁. ds₁ + |F₂|.cosα₂. ds₂ + |F₃|.cosα₃. ds₃ +… = ${\displaystyle \int _{s_{0}}^{s_{n}}|\mathbf {F} |\cos \alpha ds}$, teda vzorec č. 3. Matematicky je vhodnejšie písať |dr| namiesto ds, čo znamená, že dostaneme ${\displaystyle W=\int _{B_{0}}^{B_{n}}|\mathbf {F} |\cos \alpha |d\mathbf {r} |}$, teda vzorec č. 2. Po dosadení vzorca pre skalárny súčin vektorov dostaneme ${\displaystyle W=\int _{B_{0}}^{B_{n}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$, teda vzorec č. 1. Vzorec č. 1 sa zvykne označovať aj ako „dráhový integrál sily“.

Definícia prostredníctvom výkonu

Alternatívne sa práca dá definovať prostredníctvom výkonu (P), a to takto:

${\displaystyle W=\int _{t_{0}}^{t_{n}}Pdt}$ [vzorec č. 6]

Túto definíciu používa ako prímárnu aj aktuálne platná príslušná norma STN ISO 80000-4:2006 (hoci v poznámke uvádza aj vzorec č. 1) Z uvedeného vzorca č. 6 dostaneme vyššie spomínaný vzorec č. 1 nasledovne: Keďže ${\displaystyle P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$, tak:

${\displaystyle W=\int _{t_{0}}^{t_{n}}Pdt=\int _{t_{0}}^{t_{n}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{0}}^{t_{n}}\mathbf {F} \cdot {\tfrac {d\mathbf {r} }{dt}}dt=\int _{B_{0}}^{B_{n}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$

Vzorec č. 6 sa dá mimochodom vyjadriť aj v tvare ${\displaystyle P={\frac {dW}{dt}}}$, čiže výkon je derivácia práce podľa času.

Prípady na ktoré sa mechanická práca nevzťahuje

Mechanická práca sa nekoná v prípadoch, že:

• teleso sa pohybuje, ale žiadna sila naň nepôsobí (podľa 1. Newtonovho pohybového zákona pri rovnomernom priamočiarom pohybe)
• na teleso pôsobí sila, ale teleso je v pokoji (iná sila vyrovnáva pôsobiacu silu)
• sila, ktorá na teleso pôsobí, je kolmá na smer pohybu (napr. dostredivá sila pri rovnomernom pohybe po kružnici nekoná prácu).

V prípade, že na teleso pôsobí sila, ale teleso sa pohybuje rovnomerne priamočiaro, pretože sila je vyrovnaná napr. silou trenia, sa mechanická práca konať môže, ale nemusí - mechanická energia sa môže meniť napr. na tepelnú energiu (vnútornú energiu) telesa.

Práca vykonaná za jednotku času sa nazýva výkon.

Referencie

1. práca. In: Pyramída. s.4717-4718.
2. STN ISO 80000-4:2006. S. 14
3. ŠANTAVÝ, Ivan; PEŠKA, Ladislav. Fyzika základního kurzu I (hypertextově) [online]. Ústav fyzikálního inženýrství Fakulty strojního inženýrství Vysokého učení technického v Brně, 2005, [cit. 2016-08-25]. Dostupné online. S. 76-78
4. MESCHEDE, Dieter. Gerthsen Physik. [s.l.] : Springer-Verlag, 2015. 1052 s. ISBN 978-3-662-45977-5. S. 26-27.
5. MEYER, Heinz, et al.. Technische Mechanik (Teil 2: Kinematik und Kinetik). 7. vyd. Stuttgart : G G Teubner, 1991. ISBN 978-3-519-16521-7. S. 82-85.
6. DUBBEL, Heinrich; GROTE, Karl-Heinrich (ed.), et al.. Dubbel (Taschenbuch für den Maschinenbau). 23. vyd. Berlin, Heidelberg : Springer, 2011. ISBN 978-3-642-17305-9. S. B24.
7. Arbeit. In: Lexikon der Physik. [CD-ROM] Heidelberg : Spektrum, Akad. Verl, c2000. ISBN 3-8274-0515-7.
8. práce. In: Malá československá encyklopedie V. Pom – S. Praha: Academia, 1987. s. 58.
9. práce. In: Technický naučný slovník Pr – Š. Praha, Bratislava : SNTL, SVTL, 1963. s. 5.
10. GÖBEL, Rudolf et al. "Fyzika pre maturantov". 2. vyd. Bratislava: Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1986. S. 116-120
11. SEXL, Roman; RAAB, Ivo; STREERUWITZ, Ernst. Physik. 1. Wien : Ueberreuter, Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, 1989. ISBN 3-209-00803-5. S. 49-50.
12. BEDNAŘÍK, Milan, ŠIROKÁ, Miroslava a BUJOK, Petr. "Fyzika pro gymnázia. Mechanika". 1. vyd. Praha: Prometheus, 1993. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-901619-3-6. S. 114-117

Pozri aj

• Mechanika
• Energia