Gaussova veta

Gaussova veta (iné názvy: (Gaussova-)Ostrogradského (integrálna) veta, Gaussova-Ostrogradského formula, Greenova(-Ostrogradského) veta, Greenova transformácia, (Gaussova) veta o divergencii) je veta matematickej analýzy, ktorá uvádza do súvislosti tok vektorového poľa A(r) uzavretou jednoducho súvislou hladkou plochou Σ s integrálom cez objem V plochou uzavrený z divergencie daného vektorového poľa.

${\displaystyle \oint _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}({\nabla \cdot \mathbf {A} })\mathrm {d} V}$,

kde ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$ je divergencia vektorového poľa ${\displaystyle \mathbf {A} (r)}$, ${\displaystyle \nabla }$ je operátor nabla a plocha ${\displaystyle \Sigma =\partial V}$ je hranica kompaktnej množiny V, ktorá je orientovaná vektorom vonkajšej normály, tzn. ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\mathbf {n} \mathrm {d} S}$ a n je vektor vonkajšej normály plochy, a je regulárna a otvorená množina.

Z fyzikálneho hľadiska vyjadruje Gaussova veta skutočnosť, že tok vektoru A uzavrenou plochou je rovný objemovému integrálu z divergencie vektoru A.

Pre skalárnu veličinu f možno zaviesť jej tok uzavretou plochou S vzťahom

${\displaystyle \int _{V}\nabla f\mathrm {d} V=\oint _{S}f\mathrm {d} \mathbf {S} }$

Pre tenzorovú veličinu ${\displaystyle T_{ij}}$ využijeme skutočnosti, že po kontrakcii je ${\displaystyle T_{ij}\mathrm {d} S_{j}}$ tenzorom prvého stupňa. Gaussovu vetu pre tenzorovú veličinu potom môžeme vyjadriť ako

${\displaystyle \int _{V}\mathrm {d} V{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}T_{ij}=\oint _{S}T_{ij}\mathrm {d} S_{j}}$

Okrem uvedených vzťahov platí pre vektor A tiež vzťah

${\displaystyle \int _{V}\mathrm {rot} \,\mathbf {A} \mathrm {d} V=-\oint _{S}\mathbf {A} \times \mathrm {d} \mathbf {S} }$^[1]

Referencie

1. P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-09-23].