Youngov modul elastičnosti

Univerzalna kidalica se koristi za mjerenje Youngovog modula elastičnosti

Ispitivanje u tri točke

Youngov modul elastičnosti ili samo modul elastičnosti predstavlja mjeru krutosti materijala i jednak je omjeru vlačnog naprezanja i linijske vlačne deformacije, u linearnom ili elastičnom dijelu dijagrama naprezanja. Krutost materijala je važna veličina pri određivanju stabilnosti i sigurnosti neke konstrukcije. Youngov modul elastičnosti vrijedi i za tlačna naprezanja kod većine materijala: ^[1]

${\displaystyle E\equiv {\frac {\mbox{vlačno naprezanje}}{\mbox{produljenje}}}={\frac {\sigma }{\varepsilon }}={\frac {F/A_{0}}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A_{0}\Delta L}}}$

gdje je:

E - Youngov modul elastičnosti (N/mm²);

F - sila koja produljuje šipku ili štap (N);;

A₀ - početni poprečni presjek šipke ili štapa u mirovanju (mm²);

ΔL - produljuje šipke ili štapa (m);

L₀ - početna duljina šipke ili štapa (m);

σ – naprezanje u šipki ili štapu (N/mm²)

ε – omjer produljenja šipke ili štapa i njene duljine (bez dimenzije ili ΔL / Lo)

Youngov modul elastičnosti je nazvan prema britanskom znanstveniku Thomasu Youngu, iako je sam pojam razvio matematički Leonhard Euler, a prvi je pokuse izveo talijanski znanstvenik Giordano Riccati 1782., 25 godina prije Thomasa Younga.

Primjena

Youngov modul elastičnosti nam može poslužiti da se izračuna produljenje ili suženje nekog materijala, koji je pod utjecajem neke vanjske sile. Da bi se točno odredila promjena obujma nekog krutog materijala, pod utjecajem sile, potrebno je poznavati i još neka svojstva materijala, kao što je modul smičnosti G, gustoću ili Poissonov omjer υ. ^[2]

Hookeov zakon za elastične materijale iznosi:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$

ili

${\displaystyle \Delta L={\frac {F}{EA}}L={\frac {\sigma }{E}}L.}$

gdje je: σ – naprezanje u šipki ili štapu (N/mm²), E – Youngov modul elastičnosti (N/mm²), ε – omjer produljenja šipke ili štapa i njene duljine (bez dimenzije ili ΔL / L), L – duljina štapa, ΔL - produljenje šipke ili štapa (mm), F – sila koja produljuje šipku ili štap (N), A – poprečni presjek šipke ili štapa (mm²) "Elementi strojeva", Karl-Heinz Decker, Tehnička knjiga Zagreb, 1975.</ref>

Hookeov zakon vrijedi (do granice razvlačenja) za čelik, a može poslužiti i za bakar, aluminij i drvo). Za neke druge materijale vrijedi potencijalni Hookeov zakon, koji je utvrđen na osnovu preciznih mjerenja: ^[3]

ε = α_o σⁿ

gdje je: α_o ≈ 1/E, n – za sivi lijev n = 1,08 za vlak i n = 1,04 za tlak; za lijevani cink, granit, beton vrijedi n = 1,14 – 1,16; za kožu i užad od konoplje n = 0,7.

Ukoliko poznajemo Youngov modul elastičnosti za neki materijal, može se izračunati sila koja djeluje na njega, ako izmjerimo produljenje ili suženje materijala:

${\displaystyle F={\frac {EA_{0}\Delta L}{L_{0}}}}$

Na osnovu Hookeovog zakona i Youngovog modula elastičnosti može se izračunati i konstanta opruge k:

${\displaystyle F=\left({\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\right)\Delta L=kx\,}$

gdje je:

${\displaystyle k={\begin{matrix}{\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\end{matrix}}\,}$

${\displaystyle x=\Delta L.\,}$

Ili potencijalna energija opruge:

${\displaystyle U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

Odnosi između elastičnih konstanti

Za homogene izotropne materijale postoji jednostavan odnos izmedu elastičnih konstanti (Youngov modul elastičnosti E, modul smičnosti G, ukupni modul elastičnosti K i Poissonov omjer υ):

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).\,}$

Vrijednosti Youngovog modula elastičnosti

Youngov modul elastičnosti se ispituje ponekad s različitim metodama i uzorcima za ispitivanje, pa postoje male razlike u usporedbi njihovih vrijednosti.

Približne vrijednosti Youngovog modula elastičnosti za različite materijale^[4]

Materijal	GPa	lbf/in^2 (psi)
Guma (male deformacije)	0,01–0,1	1 500–15 000
PTFE (Teflon)	0,5	75 000
Polietilen male gustoće	0,2	30 000
Polietilen velike gustoće (HDPE)	0,8
Polipropilen	1,5-2	217 000–290 000
Proteinska ljuska virusa (kapsida)[5]	1–3	150 000–435 000
Polietilentereftalat ili Dacron	2-2,7
Polistiren	3-3,5	435 000–505 000
Najlon	2–4	290 000–580 000
Dvoatomne frustule (uglavnom silicijeva kiselina)[6]	0,35–2,77	50 000–400 000
Vlaknasti paneli srednje gustoće [7]	4	580 000
Borovo drvo (uzduž vlakana)	8,963	1 300 000
Hrastovo drvo (uzduž vlakana)	11	1 600 000
Beton velike čvrstoće (tlak)	30	4 350 000
Vlakna konoplje [8]	35
Magnezij metal (Mg)	45	6 500 000
Vlakna lana [9]	58
Aluminij	69	10 000 000
Vlakna koprive [10]	87
Staklo	50–90
Aramidna vlakna [11]	70,5–112,4
Sedef na školjkašima (uglavnom kalcijev karbonat) [12]	70	10 000 000
Zubna caklina (uglavnom kalcijev fosfat)[13]	83	12 000 000
Mjed i bronca	100–125	17 000 000
Titanij (Ti)		16 000 000
Titanijevi spojevi	105–120	15 000 000–17 500 000
Bakar (Cu)	117	17 000 000
Stakloplatika (70/30 težinski, uzduž vlakana)	40–45	5,800,000–6,500,000
Poliesterska stakloplatika [14]	17,2	2 500 000
Ugljikova stakloplatika (50/50 težinski, uzduž vlakana)	125–150	18 000 000–22 000 000
Ugljikova stakloplatika (70/30 težinski, uzduž vlakana) [15]	181	26 300 000
Silicij [16]	130-185
Kovano željezo	190–210
Čelik	200	29 000 000
Polikristalni itrij-željezni granati (YIG) [17]	193	28 000 000
Jednokristalni itrij-željezni granati (YIG) [18]	200	30 000 000
Berilij (Be)	287	42 000 000
Molibden (Mo)	329
Volfram (W)	400–410	58 000 000–59 500 000
Safir (Al2O3) uzduž C-osi	435	63 000 000
Silicijev karbid (SiC)	450	65 000 000
Osmij (Os)	550	79 800 000
Voframov karbid (WC)	450–650	65 000 000–94 000 000
Jednozidne ugljikove nanocijevi [19] [20]	1,000	145 000 000
Grafen	1000
Dijamant (C)[21]	1220	150 000 000–175 000 000

Izvori

1. [1] Arhivirano 2017-02-28 na Wayback Machine-u "Konstrukcijski elementi I", Tehnički fakultet Rijeka, Božidar Križan i Saša Zelenika, 2011.
2. [2] Arhivirano 2012-01-31 na Wayback Machine-u "Elementi strojeva", Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, Prof. dr. sc. Damir Jelaska, 2011.
3. "Strojarski priručnik", Bojan Kraut, Tehnička knjiga Zagreb 2009.
4. http://www.engineeringtoolbox.com/young-modulus-d_417.html
5. journal=Proc Nat Acad Sci USA., 2004., Ivanovska IL, de Pablo PJ, Sgalari G, MacKintosh FC, Carrascosa JL, Schmidt CF, Wuite GJL: "Bacteriophage capsids: Tough nanoshells with complex elastic properties"
6. journal=J Nanosci Nanotechnol., 2005.,|Subhash G, Yao S, Bellinger B, Gretz MR.: "Investigation of mechanical properties of diatom frustules using nanoindentation"
7. [3]^{[mrtav link]} "MDF Material Properties Data: Medium Density Fiberboard (MDF)"
8. Nabi Saheb D., Jog J. P.: "Natural fibre polymer composites: a review", journal = Advances in Polymer Technology, 1999.
9. Bodros E.: "Analysis of the flax fibres tensile behaviour and analysis of the tensile stiffness increase", journal = Composite Part A, 2002.
10. Bodros E., Baley C.: "Study of the tensile properties of stinging nettle fibres (Urtica dioica)", journal = Materials Letters, 2008.
11. DuPont: "Kevlar Technical Guide", 2001.
12. journal=Proc. R. Soc. Lond. B, 1988. A. P. Jackson,J. F. V. Vincent and R. M. Turner: "The Mechanical Design of Nacre" [4]
13. journal=Journal of Materials Science, 1981., "Spherical indentation of tooth enamel" M. Staines, W. H. Robinson and J. A. A. Hood [5]^{[mrtav link]}
14. Polyester Matrix Composite reinforced by glass fibers (Fiberglass). SubsTech, 2008.
15. Epoxy Matrix Composite reinforced by 70% carbon fibers [SubsTech]. Substech.com, 2006.
16. Physical properties of Silicon (Si) Ioffe Institute Database, 2011.
17. Chou H. M., Case E. D.: "Characterization of some mechanical properties of polycrystalline yttrium iron garnet (YIG) by non-destructive methods", journal = Journal of Materials Science Letters, 1988.
18. YIG properties Arhivirano 2009-02-25 na Wayback Machine-u "Yttrium_Iron_Garnet"
19. [6] Arhivirano 2005-10-29 na Wayback Machine-u "Electronic and mechanical properties of carbon nanotubes", L. Forro
20. Y.H.Yang, journal=Applied Physics Letters, 2011., "Radial elasticity of single-walled carbon nanotube measured by atomic force microscopy"
21. "Synthetic Diamond – Emerging CVD Science and Technology" Spear and Dismukes, publisher=Wiley, NY, 1994.