Leonhard Euler

Leonhard Euler
Rođenje	(1707-04-15)15. 4. 1707. Basel, Švicarska
Smrt	18. 9. 1783. (dob: 76) [OS: 7. septembar 1783] Sankt Peterburg, Rusko Carstvo
Prebivalište	Kraljevina Pruska, Rusko Carstvo Švicarska
Polje	matematika i fizika
Alma mater	Univerzitet u Baselu
Akademski mentor	Johann Bernoulli
Istaknuti studenti	Nicolas Fuss Johann Hennert Joseph Louis Lagrange Stepan Rumovsky
Religija	kalvinist[1][2]
Otac matematičara Johanna Euelera Akademske genealogije ga navode kao ekvivalent doktorskog savjetnika Josephu Louisu Lagrangeu.

Leonard Paul Ojler (nem. Leonhard Paul Euler; Bazel, 15. april 1707 — Sankt Peterburg, 18. septembar 1783) je bio švajcarski matematičar i fizičar. Živeo je i radio u Berlinu i Sankt Peterburgu.

Ojler je došao do velikih otkrića u potpuno različitim oblastima kao što su matematička analiza i teorija grafova. Uveo je u upotrebu veliki broj termina koji se koriste u savremenoj matematici i unapredio matematičku notaciju, posebno u okviru analize. Ojler je zaslužan za savremeni zapis matematičke funkcije.^[3] Značajan doprinos dao je i na poljima mehanike, optike i astronomije.

Smatra se da je Ojler jedan od vrlo značajnih matematičara 18. veka i među najvećim matematičarima svih vremena. Takođe je i jedan od najplodnijih - sačuvano je oko 900 njegovih radova.^[4]

Ojlerov lik je nekoliko puta štampan na poštanskim markicama u Švajcarskoj, Nemačkoj i Rusiji, na novčanici od 10 švajcarskih franaka a asteroid 2002 Ojler je dobio ime u njegovu čast. Luteranska crkva ga je uvrstila u svoj kalendar svetaca. Sećanju na Ojlera su posvetili 24. maj.

Biografija

Detinjstvo i mladost

Nekadašnja novčanica od 10 švajcarskih franaka sa likom Leonarda Ojlera.

Ojler je rođen u Bazelu, kao prvo dete Paula Ojlera, sveštenika Reformatorske crkve, i Margarite Bruker, koja je takođe potekla iz svešteničke porodice. Imao je dve mlađe sestre, Anu Mariju i Mariju Magdalenu. Ubrzo po Ojlerovom rođenju, porodica se iz Bazela preselila u Rien, gde će Leonard provesti veći deo svog detinjstva. Paul Ojler je bio prijatelj sa porodicom Bernuli, što je omogućilo da Johan Bernuli, koji je u svoje vreme smatran za najvažnijeg evropskog matematičara, izvrši značajan uticaj na mladog Ojlera.

Ojlerovo rano formalno obrazovanje je započelo u Bazelu, gde je poslat da živi sa svojom bakom po majci. Sa trinaest godina se upisao na Univerzitet u Bazelu, a 1723. godine je diplomirao sa radom u kome je upoređivao filozofiju Dekarta sa filozofijom Isaka Njutna. U isto vreme je subotom popodne išao na časove kod Johana Bernulija, koji je brzo utvrdio da njegov novi učenik ima neverovatan talenat za matematiku.^[5] U to vreme Ojler je izučavao teologiju, grčki i hebrejski jezik, da bi, na insistiranje svoga oca, postao sveštenik. Međutim, Johan Bernuli je ubedio Paula Ojlera da je njegov sin predodređen da postane veliki matematičar.

Ojler je 1726. godine završio svoju doktorsku tezu o širenju zvuka, pod nazivom O zvuku (De Sono) ^[6] a već 1727. godine učestvovao je na takmičenju koje je organizovala Francuska akademija nauka. Te godine nagradni problem pariske akademije bio je da se pronađe najbolje mesto za postavljanje jarbola na brodu. Osvojio je drugo mesto, a nagradu je dobio Pjer Buger, čovek koji je danas poznat kao „konstruktor ratne mornarice“. Ojler je kasnije postao dobitnik ove prestižne godišnje nagrade dvanaest puta u svojoj karijeri.^[7]

Sankt Peterburg

Poštanska marka izdata 1957. godine u bivšem Sovjetskom Savezu posvećena Ojleru. Na njoj piše: 250 godina od rođenja velikog matematičara i akademika, Leonarda Ojlera.

Upravo u to vreme, Danijel i Nikolaus Bernuli, Johanovi sinovi, radili su na Carskoj ruskoj akademiji nauka u Sankt Peterburgu. Nikolaus je umro od zapaljenja slepog creva u julu 1726. godine, posle godinu dana provedenih u Rusiji. Kada je na njegovu poziciju na matematičko-fizičkom odseku prešao Danijel, kandidat za upražnjeno mesto na odseku za psihologiju je, na Danijelovu preporuku, postao upravo Ojler. U novembru 1726. godine Ojler je žudno prihvatio ponudu, ali je odložio putovanje za Sankt Peterburg da bi bezuspešno konkurisao za mesto profesora fizike na Univerzitetu u Bazelu.^[8]

Peterburška akademija nauka (rus. Peterburgskaя akademiя nauk), koju je osnovao Petar Veliki, bila je zamišljena kao sredstvo kojim bi se poboljšalo rusko obrazovanje i prevazišao naučni jaz koji je postojao između Rusije i Zapadne Evrope. Zbog toga je ona bila posebno privlačna za učene strance poput Ojlera. Akademija je raspolagala ogromnim finansijskim izvorima i bogatom bibliotekom koja je stvorena iz privatnih biblioteka samog Petra Velikog i ruskog plemstva. Vrlo malo studenata je imalo čast da pohađa Akademiju, da bi se univerzitetskim profesorima olakšao teret predavanja, a posebno se insistiralo na istraživačkom radu zahvaljujući vremenu i slobodi koje su zaposleni imali na raspolaganju da bi mogli da se posvete rešavanju naučnih pitanja.^[7]

Mapa sveta iz Geografskog atlasa koji je Ojler objavio 1753. godine u Berlinu

Ojler je doputovao u rusku prestonicu 17. maja 1727. godine, istog dana kada je umrla Katarina I, koja je vodila računa o Akademiji nastavljajući zamisao svog pokojnog supruga, Petra Velikog. Rusko plemstvo, koje je ojačalo stupanjem na vlast dvanaestogodišnjeg Petra II, bilo je sumnjičavo po pitanju stranaca koji su bili zaposleni na Akademiji, a na nju su gledali kao na nepotreban luksuz, pa su u nekoliko narednih meseci počeli da uskraćuju finansijska sredstva i da indirektno utiču na naučnike sa strane da napuštaju Rusiju. U takvom trenutku, zbog zabune u vezi pozicije na koju je primljen, Ojler je dobio posao u matematičkom odseku, nakon što je zamalo, u očaju zbog razvoja situacije, postao poručnik u ratnoj mornarici.^[9] Ojler je u Sankt Peterburgu stanovao sa Danijelom Bernulijem, sa kojim je često blisko sarađivao. Temeljno je savladao ruski i rešio da se skrasi u Sankt Peterburgu. Našao je sebi dodatni posao, zaposlivši se kao lekar u ruskoj mornarici.^[10]

Uslovi su se neznatno poboljšali nakon smrti Petra II, pa je Ojler brzo napredovao, te bio postavljen za profesora fizike 1731. godine. Dve godine kasnije, Danijel Bernuli, kome je bilo dosta cenzure i neprijateljstava sa kojima se susretao u Sankt Peterburgu, otputovao je za Bazel, a Ojler ga je nasledio kao rukovodilac odseka za matematiku.^[11]

U to vreme težište Ojlerove delatnosti postaje rad na geografskim kartama, kao posledica prihvatanja zadatka da se na osnovu postojećih karata ruskih gubernija sastavi mapa cele Rusije. Zbog velikih neslaganja sa jednim od akademika koji je učestvovao u projektu, a vrlo verovatno i zbog svog zdravlja, Ojler se 1740. godine povlači i prestaje da se bavi kartografijom.^[12]

Ojler se oženio Katarinom Gsel (Katharina Gsell), kćerkom slikara koga je Petar Veliki doveo u svoju službu iz Holandije, 7. januara 1734. godine. Mladi par je živeo u kući na obali reke Neve. Imali su trinaestoro dece, od kojih je osmoro umrlo još u detinjstvu.^[13]

Berlin

Memorijalna ploča na Ojlerovom domu u Berlinu.

Zabrinut konstantnim nemirima u Rusiji, Ojler je prihvatio poziv Fridriha Velikog da pređe na Berlinsku akademiju. Napustio je Sankt Peterburg 19. juna 1741. godine, i sledećih dvadeset pet godina živeo je u Berlinu. Kao šef odseka za matematiku, Ojler se bavio rešavanjem najrazličitijih problema: vodio je računa o opservatoriji i botaničkoj bašti, birao je osoblje, bavio se raznim finansijskim pitanjima, i bio odgovoran za objavljivanje kalendara i geografskih karata koje su bile solidan izvor prihoda za Akademiju. Kao član upravnog odbora Akademije vodio je računa o biblioteci i objavljivanju naučnih radova, a pored toga, bio je i državni savetnik za igre na sreću, osiguranja i penzione fondove. ^[14] Pored svega toga, u navedenom periodu napisao je preko 380 matematičkih radova, a, između ostalog, objavio je i dva svoja najpoznatija dela: Uvod u analizu beskonačnih veličina (Introductio in analysin infinitorum, 1748) i Diferencijalni račun (Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, 1755). ^[15]

Pisma jednoj nemačkoj princezi, Treći tom

Jedan od zadataka koje je Fridrih Veliki postavio Ojleru bio je da podučava njegovu nećaku, princezu od Anhalt-Desaua (Anhalt-Dessau). Ojler je u periodu 1760 — 1761^[4] napisao preko 200 pisama koja su kasnije sakupljena i objavljena u knjizi pod nazivom Pisma jednoj nemačkoj princezi, prevedenoj na sedam jezika.^[9] U svojim pismima, Ojler se bavio različitim temama, najviše iz oblasti fizike i matematike, ali je ovo zgodan materijal i za istraživanje Ojlerove ličnosti i njegovih religioznih ubeđenja. Knjiga je postala popularnija od bilo kog njegovog matematičkog dela, i objavljivana je širom Evrope i u SAD, što je dokaz da je Ojler imao sposobnost uspešnog predstavljanja naučnih tema širokoj publici, osobinu koja se retko sreće kod vrhunskih naučnika posvećenih istraživačkom radu. ^[16]

Uprkos svom neizmernom doprinosu ugledu Berlinske akademije, Ojler je bio prinuđen da napusti pruski dvor, delimično zbog sukoba sa ličnošću Fridriha Velikog, koji je smatrao matematičara nedovoljno mudrim u poređenju sa krugom filozofa koji su bili dovedeni na Akademiju. Jedan od tih filozofa je bio Volter, koji je imao istaknutu poziciju u kraljevom društvu. Na drugoj strani, kao njegova direktna suprotnost se nalazio Ojler, jednostavan, vredan i religiozan čovek, sa vrlo konvencionalnim uverenjima i ukusom. Sa svojim prilično slabim poznavanjem retorike, i tendencijom da diskutuje o stvarima o kojima nije mnogo znao, često je bio meta Volterovih dosetki.^[16]

Fridrih je, takođe, bio razočaran Ojlerovim praktičnim inženjerskim sposobnostima:

Želeo sam vodene prskalice u svojoj bašti: Ojler je izračunao snagu potrebnu točkovima da podignu vodu u rezervoar, odakle je, pomoću kanala, trebalo da u mlazevima poliva Sansusi. Naprava je bila konstruisana geometrijski i nije mogla da podigne gutljaj vode na bliže od pedeset koraka do rezervoara. Taština nad taštinama! Taština geometrije!^[17]

Gubitak vida

Ojlerov portret iz 1753. godine. Na njemu se primećuje problem desnog kapka i moguća razrokost. Levo oko izgleda zdravo; kasnije je obolelo od katarakte.^[9]

Ojlerov vid se pogoršavao sa godinama. Tri godine nakon što je bolovao od prehlade koja je zamalo završila smrtnim ishodom, 1735. godine skoro potpuno je oslepeo na desno oko, ali je voleo da smatra da je to bila posledica napornog rada na pravljenju mapa za Peterburšku akademiju. Ojlerov vid na tom oku se toliko pogoršao tokom njegovog boravka u Berlinu, da mu se Fridrih obraćao sa Kiklope. Tri decenije kasnije, 1766. godine,^[4] levo oko mu je obolelo od katarakte, što ga je dovelo do potpunog slepila u roku od nekoliko nedelja po postavljanju dijagnoze. Čak ni to nije umanjilo njegovu produktivnost, pošto je svoje slepilo prevazišao fotografskim pamćenjem i izvanrednom sposobnošću mentalnog računanja. Smatra se da je mogao da recituje ceo tekst Vergilijeve Eneide, kao i da navede za svaku stranicu kojim stihom počinje i završava. Prema De Kondorseu, jednom prilikom je rešio dilemu svoja dva studenta koji su, sabirajući složeni konvergentan red za konkretnu vrednost promenljive dobili razliku na parcijalnoj sumi sedamnaest prvih članova koja se nalazila na petnaestoj decimali, tako što je u glavi izračunao traženi zbir. Kasnije se ispostavilo da je bio u pravu.^[9] Slepi Ojler je nastavio sa radom zamenivši pisanje diktiranjem, a njegova produktivnost se povećala - 1775. godine u proseku je svake sedmice završavao novo delo. ^[18]

Povratak u Rusiju

Ojlerov grob u manastiru Aleksandra Nevskog u Sankt Peterburgu.

Po dolasku na presto Katarine Velike situacija u Rusiji se znatno poboljšala, i Ojler je 1766. godine prihvatio poziv da se vrati na Peterburšku akademiju. Njegov drugi boravak u Rusiji je bio obeležen sa nekoliko tragedija. U požaru je 1771. godine izgorela Ojlerova kuća, a da nije bilo njegovog vernog sluge, Švajcarca Petera Grima (po nekim izvorima Grimona) koji je izneo svog gospodara iz vatrene stihije na leđima, taj incident bi se završio fatalno po samog Ojlera.^[9] Pet godina kasnije, posle više od četiri decenije braka, umrla je Ojlerova žena. Već sledeće godine ponovo se oženio, ovoga puta sa Katarininom polusestrom Salome Abigajl Gsel (Salome Abigail Gsell).^[9]

Ojler je umro 18. septembra 1783. godine u Sankt Peterburgu, nakon što je doživeo moždani udar. Sahranjen je pored svoje prve žene na luteranskom groblju koje se nalazilo na ostrvu Vasiljevski. Ovo groblje su uništili Sovjeti nakon što su Ojlerove ostatke premestili u pravoslavni manastir Aleksandra Nevskog.

Sećanje na Ojlera je za francusku Akademiju napisao francuski matematičar i filozof Markiz de Kondorse, a biografiju i spisak njegovih dela, sastavio je Nikolas fon Fus (Nikolaus von Fuss), Ojlerov zet i sekretar tadašnje Carske akademije nauka i umetnosti. Kondorse je primetio:

…il cessa de calculer et de vivre — … prestao je da računa i da živi.^[19]

Ojlerovi doprinosi matematici

Ojler se bavio skoro svim oblastima matematike: geometrijom, analizom, trigonometrijom, algebrom, teorijom brojeva, kao i fizikom kontinuuma, lunarnom teorijom i drugim oblastima fizike. Izdvaja se u istoriji matematike kao vrlo originalna i značajna ličnost, a njegovo ime je povezano sa velikim brojem matematičkih pojmova.

Matematička notacija

Ojlerova notacija je jako bliska savremenoj. Odlomak iz Diferencijalnog računa, objavljenog 1755. godine

Ojler je u matematičku notaciju uveo nekoliko konvencija koje je popularisao kroz svoje brojne i široko rasprostranjene udžbenike. Uveo je pojam funkcije i prvi je upotrebio oznaku f(x) za funkciju f primenjenu na argument x. ^[3] Pored toga, uveo je moderan zapis trigonometrijskih funkcija, slovo e kao oznaku za osnovu prirodnog logaritma (danas poznatu i kao Ojlerov broj), grčko slovo Σ za označavanje sumiranja i slovo ${\displaystyle i}$ za označavanje imaginarne jedinice.^[20] Takođe je koristio grčko slovo π da označi odnos obima i poluprečnika kruga, iako to nije bila originalno njegova ideja. ^[21]

Matematička analiza

U 18. veku matematička istraživanja su bila usredsređena na oblast analize, a članovi porodice Bernuli, koji su bili bliski prijatelji porodice Ojler, su bili zaslužni za veći deo ranih otkrića na ovom polju. Zahvaljujući njihovom uticaju, Ojler se fokusirao na izučavanje matematičke analize. Iako neki njegovi dokazi po savremenim standardima matematičke strogosti nisu prihvatljivi, ^[22] njegove ideje su utrle put mnogim značajnim dostignućima.

Ojler je poznat po velikom doprinosu razvoju stepenih redova, prikazivanju funkcija u obliku zbira beskonačno mnogo sabiraka, kao što je

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right)}$

i njihovoj čestoj upotrebi.

Značajno Ojlerovo otkriće je razvoj broja e i inverzne tangensne funkcije u stepeni red. Njegova slobodna upotreba (koja je po savremenim standardima i tehnički nekorektna) stepenih redova omogućila mu je da reši čuveni Bazelski problem 1735. godine:^[22]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Geometrijska interpretacija Ojlerove formule

Ojler je uveo upotrebu eksponencijalne funkcije i logaritama u analitičke dokaze. Otkrio je način da izrazi različite logaritamske funkcije pomoću stepenih redova, i uspešno je definisao logaritme negativnih i kompleksnih brojeva, čime je proširio domen matematičke primene logaritama.^[20] Takođe je definisao eksponencijalnu funkciju za kompleksne brojeve i otkrio njenu vezu sa trigonometrijskim funkcijama. Za proizvoljan realan broj φ, prema Ojlerovoj formuli, važi jednakost

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .\,}$

Poseban slučaj te formule, koji se dobija za vrednost ${\displaystyle \varphi =\pi ,\,\!}$ poznat kao Ojlerov identitet,

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}$

se u knjizi Ričarda Fejnmana smatra za „najznačajniju matematičku formulu“, zato što u jednom izrazu, uz korišćenje operacija sabiranja, množenja i stepenovanja navodi pet važnih matematičkih konstanti 0, 1, e, i i π ^[23]. Čitaoci časopisa Matematikal intelidženser (Mathematical Intelligencer) su 1988. godine ovaj identitet proglasili za najlepšu matematičku formulu svih vremena.^[24] Zanimljivo je da su se među pet prvoplasiranih formula na tom glasanju našle čak tri koje je otkrio Ojler.^[24]

Između ostalog, Ojler je razradio teoriju viših transcedentalnih funkcija uvodeći gama-funkciju i novu metodu za rešavanje jednačina četvrtog stepena. Otkrivši način da izračuna integral sa kompleksnim granicama nagovestio je razvoj moderne kompleksne analize. Začeo je funkcionalnu analizu, i dao čuvenu Ojler-Lagranžovu formulu.

Ojler je bio prvi matematičar koji je koristio analitičke metode za rešavanje problema teorije brojeva. Na taj način je ujedinio dve različite matematičke grane i uveo novu oblast istraživanja, analitičku teoriju brojeva. U procesu zasnivanja novog polja, Ojler je stvorio teoriju hipergeometrijskih redova, hiperboličnih trigonometrijskih funkcija i analitičku teoriju verižnih razlomaka. Dokazao je da prostih brojeva ima beskonačno mnogo koristeći divergentnost harmonijskog reda, i upotrebljavao je analitičke metode da bi došao do određenih saznanja o načinu na koji su prosti brojevi raspoređeni u skupu prirodnih brojeva. Ojlerovi doprinosi na ovom polju su omogućili da se otkrije Teorema o prostim brojevima.^[25]

Teorija brojeva

Ojlerov interes za teoriju brojeva potakao je Kristijan Goldbah, njegov prijatelj sa Peterburške akademije. Dosta njegovih ranih radova iz ove oblasti je bilo zasnovano na delima Pjera Ferma - Ojler je razvio neke njegove ideje i opovrgao nekoliko hipoteza.

Ojler je povezao prirodu pojavljivanja prostih brojeva sa idejama matematičke analize. Došao je do dokaza da suma recipročnih vrednosti prostih brojeva divergira, pri čemu je otkrio vezu između Rimanove zeta-funkcije i prostih brojeva, danas poznatu kao Ojlerova formula za Rimanovu zeta-funkciju.

Ojler je dokazao Njutnove identitete, Malu Fermaovu teoremu, Fermaovu teoremu o zbiru dva kvadrata, i dao je značajan doprinos Lagranžovoj teoremi o četiri kvadrata. Pored toga, uveo je funkciju φ(n) koja daje broj svih pozitivnih celih brojeva manjih od celog broja n koji su sa njim uzajamno prosti. Korišćenjem osobina ove funkcije, uopštio je Malu Fermaovu teoremu, a taj rezultat je danas poznat kao Ojlerova teorema. Značajno je doprineo razumevanju savršenih brojeva, koji su fascinirali matematičare još od vremena Euklida, napravio je izvestan progres ka formulisanju Teoreme o prostim brojevima, i postavio je hipotezu koja je kasnije dokazana kao Zakon kvadratnih reciprociteta. Danas se ti koncepti smatraju osnovnim teoremama teorije brojeva, a Ojler je svojim idejama ukazao na put kojim je kasnije krenuo Karl Fridrih Gaus.^[26]

Do 1772. godine, Ojler je pokazao da je 2³¹ − 1 = 2.147.483.647 Mersenov prost broj. To je bio najveći poznati prost broj sve do 1867. godine.^[27]

Teorija grafova

Za više informacija pogledajte članak Kenizberški mostovi

Mapa Kenigsberga iz Ojlerovog vremena koja prikazuje stvarni raspored sedam mostova, uz naglašavanje toka reke Pregel i samih mostova.

Ojler je 1736. godine rešio problem poznat kao Sedam mostova Kenigsberga. ^[28] Glavni grad Pruske, Kenigsberg, danas Kalinjingrad, nalazio se na reci Pregel, i njegova teritorija je obuhvatala i dva velika ostrva na reci koja su bila povezana sa ostatkom grada i međusobno pomoću sedam mostova. Postavilo se pitanje da li je moguće poći iz jedne tačke i, vratiti se u nju tako da se svaki most pređe tačno jednom. To pod zadatim uslovima nije moguće, što znači da ne postoji Ojlerov put. Ovo rešenje se smatra prvom teoremom teorije grafova, odnosno teorije planarnih grafova.^[28]

Formula koja povezuje broj temena (V), ivica (E) i strana (F) konveksnog poliedra, ${\displaystyle V-E+F=2}$, takođe je Ojlerova zasluga. ^[29] Konstanta koja se pojavljuje u navedenoj formuli je poznata kao Ojlerova karakteristika grafa ili bilo kog drugog matematičkog objekta, i u bliskoj je vezi sa njegovim rodom. ^[30] Izučavanje i generalizacija navedene formule koje su obavili Koši ^[31] i L'Ulije ,^[32] su bili osnova za zasnivanje topologije.

Analitička geometrija

Ojlerov doprinos analitičkoj geometriji se sastoji u formulaciji jednačina koje opisuju kupu, valjak, i različite rotacione površi. Pored toga, pokazao je da se najkraće rastojanje između dve tačke na zakrivljenoj površi pretvara u duž ukoliko se ta površ projektuje na ravan. Prvi je proučavao sve krive zajedno, bez posebne naklonosti prema konikama i temeljno se bavio krivama koje generišu transcedentalne funkcije (npr. sinusoida).

Napisao je i značajan rad o klasifikaciji krivih i površi. U Uvodu u analizu beskonačnih veličina se nalazi kompletna i iscrpna diskusija o polarnim koordinatama koje su date u savremenom obliku. Zbog toga se greškom, čak i danas, često navodi da je Ojler uveo u upotrebu tu notaciju.

Dokazao je i nekoliko teorema opšte geometrije, između ostalih i tvrđenje da težište, ortocentar i centar opisanog kruga trougla uvek pripadaju jednoj pravoj. Njemu u čast, ta prava je nazvana Ojlerovom.

Primenjena matematika

Neka od Ojlerovih značajnih dostignuća uključuju rešavanje realnih problema analitičkim metodama, i opisivanje mnogobrojnih primena Bernulijevih brojeva, Furijeovih redova, Venovih dijagrama, Ojlerovih brojeva, konstanti e i π, verižnih razlomaka i integrala. Načinio je celinu od Lajbnicovog diferencijalnog računa i Njutnove metode fluksija, i razvio je aparat koji je olakšao primenu matematičke analize na fizičke probleme. Napravio je velike korake u poboljšanju numeričke aproksimacije integrala, tako što je u upotrebu uveo takozvane Ojlerove aproksimacije, među kojima su najznačajnije Ojlerova metoda i Ojler-Maklorenova formula. Olakšao je upotrebu diferencijalnih jednačina uvodeći takozvanu Ojler-Maskeronijevu konstantu:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}$

Laplasove reči

Čitajte Ojlera, čitajte Ojlera, to je naš zajednički učitelj.^[4]

najbolje pokazuju Ojlerov uticaj na matematiku.

Teorija muzike

Među manje poznatim Ojlerovim doprinosima nalazi se pokušaj formulisanja teorije muzike u potpunosti zasnovan na matematičkim idejama, koji je napravio napisavši 1739. godine Tentamen novae theoriae musicae, a zatim i brojna druga dela sa nadom da može da priključi teoriju muzike matematici. Ojler se tim svojim nastojanjima priključio trendu koji su pokrenuli Marin Mersen i Rene Dekart, a koji će nastaviti Žan Dalamber, Herman fon Helmholc i drugi.

U svom Sećanju na Leonarda Ojlera, njegov pomoćnik, Nikolas Fus okarakterisao je navedeni traktat kao:

Ozbiljno delo, prepuno novih ideja koje su predstavljene sa originalne tačke gledišta, ali delo koje nije doživelo značajnu popularnost zato što sadrži previše geometrije za muzičare, i previše muzike za matematičare.^[13]

Fizika i astronomija

I na polju fizike Ojler je ostavio trag, kroz otkriće Ojler-Bernulijeve jednačine. Pored toga što je uspešno primenjivao svoje analitičke metode na probleme klasične mehanike, istim tehnikama se služio i pri rešavanju astronomskih problema. Za svoja dostignuća na tom polju dobio je nekoliko nagrada pariske Akademije nauka. Između ostalog, sa velikom tačnošću je određivao orbite kometa i drugih nebeskih tela, razumevajući njihovu prirodu, i računajući paralaksu sunca. Njegova izračunavanja su doprinela razvoju tačnih tablica geografskih dužina. ^[33]

Između ostalog, Ojler je dao značajan doprinos i na polju optike. Nije se slagao sa Njutnovom teorijom svetlosti izloženom u delu Optika (Opticks), koja je u to vreme bila preovlađujuća. Svojim radom na tu temu iz 1740. godine pomogao je da Talasna teorija svetlosti koju je predložio Kristijan Hajgens postane dominanatan način razmišljanja, do razvoja Kvantne teorije svetlosti.^[34]

Logika

Ojleru se pripisuje da je koristio zatvorene krive da ilustruje silogističko zaključivanje (1768). Takvi dijagrami su danas poznati kao Ojlerovi dijagrami.^[35]

Lična filozofija i verska ubeđenja

Leonard Ojler i Danijel Bernuli su bili protivnici Lajbnicovog monizma i filozofije Kristijana Volfa. Ojler je insistirao na činjenici da je znanje, između ostalog, zasnovano na preciznim kvantitativnim zakonima, što monizam i Volfova nauka nisu mogli da potvrde. Moguće je da su Ojlerove religiozne sklonosti takođe imale oslonac u njegovom preziranju dogmi; išao je tako daleko da je proglasio Volfove ideje „neverničkim i ateističkim“. ^[36]

Do većeg dela onoga što je danas poznato u vezi sa Ojlerovim religioznim ubeđenjima može se doći čitanjem njegovih Pisama jednoj nemačkoj princezi i jednog ranijeg dela, Odbrana božanskog Otkrovenja od prigovora slobodnih mislilaca (Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister). Ova dela prikazuju Ojlera kao nepokolebljivog hrišćanina i bogonadahnutu osobu. ^[37]

U vreme svog boravka u Berlinu, Ojler je svake večeri okupljao porodicu da bi zajedno pročitali jedno poglavlje iz Biblije i pomolili se, dok je na drugoj strani, dane provodio na dvoru Fridriha Velikog na kome je, prema Makoleju,

glavna tema razgovora bila apsurdnost postojanja svih poznatih religija^[38]

Prema jednoj poznatoj priči, inspirisanoj Ojlerovim raspravama sa svetovnim filozofima oko religioznih tema, u vreme njegovog drugog boravka u Sankt Peterburgu, u poseti dvoru Katarine Velike se nalazio francuski filozof Deni Didro. Kako su Didroovi argumenti u korist nepostojanja Boga počeli znatno da utiču na Katarinine dvorane, carica je zamolila Ojlera da obuzda vetropirastog gosta. Po dogovoru, Didrou je rečeno da Ojler poseduje algebarski dokaz o postojanju Boga, i Francuz je pristao da ga pred celim dvorom sasluša. Ojler je vrlo samouvereno istupio prema filozofu izgovorivši rečenicu:

Gospodine, ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a+b^{n}}{n}}=x\end{matrix}}}$, znači da Bog postoji; odgovorite! ^[9]

Didro je zanemeo dok su ga, kao reakcija, zasipale salve smeha prisutnih dvorana. Kako mu je matematika bila slaba strana, Ojlerova tvrdnja je delovala istinito i nije mogao da je pobije. Ponižen, zatražio je od Katarine dozvolu da se odmah vrati u Francusku, a ona mu je vrlo blagonaklono to i dopustila. Međutim, koliko god ovo bio zanimljiv događaj, velika je verovatnoća da nije istinit, s obzirom da je Didro bio sposoban matematičar, koji je čak objavio nekoliko matematičkih rukopisa.^[39]

Izabrana dela

Naslovna strana Ojlerove Metode za nalaženje krivih linija koje poseduju osobine maksimuma ili minimuma (1744)

• Mehanika, ili nauka o kretanju izložena analitički (Mechanica, sive motus scientia analytica exposita, 1736) — Ojler je u ovom udžbeniku predstavio Njutnovu dinamiku materijalne tačke pomoću analitičkih metoda izlaganja.
• Pokušaj zasnivanja nove teorije muzike (Tentamen novae theoriae musicae, 1739)
• Disertacija o magnetu (Dissertatio de magnete, 1743)
• Metode za nalaženje krivih linija koje poseduju osobine maksimuma ili minimuma (Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744) — prva knjiga u kojoj je objavljen varijacioni račun. Tu se još mogu naći i dokazi da su katenoid i pravi helikoid minimalne površi.
• Uvod u analizu beskonačnih veličina (Introductio in analysin infinitorum, 1748) — u dva toma ove knjige Ojler se bavio veoma različitim temama, između ostalog, teorijom beskonačnih redova, zasnivanjem trigonometrijskih veličina kao količnika, analitičkom geometrijom kroz razmatranje familija krivih i površi preko njihovih algebarskih jednačina, algebarskom teorijom eliminacije, zeta-funkcijom i njenom vezom sa prostim brojevima i razlaganjem brojeva na sabirke. Ovde se može naći Ojlerova formula, i predstavljanje funkcija ${\displaystyle e^{x}}$, ${\displaystyle \sin x}$ i ${\displaystyle \cos x}$ pomoću beskonačnih redova.
• Diferencijalni račun Arhivirano 2010-08-01 na Wayback Machine-u (Institutiones calculi differentialis, 1755)
• Teorija kretanja čvrstih tela (Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum, 1765) — analitičko izlaganje mehanike čvrstih tela. Između ostalog, ovde se nalaze i Ojlerove jednačine za tela koja rotiraju oko tačke.
• Integralni račun (Institutiones calculi integralis, 1768 — 1774) — napisavši tri toma, u ovoj knjizi Ojler je izložio elementarni diferencijalni i integralni račun, teoriju diferencijalnih jednačina koje je klasifikovao u „linearne“, „egzaktne“ i „homogene“, Tejlorovu teoremu i njene mnogobrojne primene i gama i beta-funkciju.
• Pisma jednoj nemačkoj princezi ( Lettres à une Princesse d'Allemagne, 1768 — 1772)
  • Prvi tom Arhivirano 2010-03-11 na Wayback Machine-u
  • Drugi tom
  • Treći tom Arhivirano 2008-04-22 na Wayback Machine-u
• Dioptrika (Dioptrica, 1769 — 1771) — izlaganje teorije prelamanja zraka kroz sistem sočiva.
• Potpuni uvod u algebru (Vollständige Anleitung zur Algebra, 1770) (francusko izdanje, engleski prevod iz 1822. godine Arhivirano 2006-09-25 na Wayback Machine-u) — udžbenik algebre koji se završava sa jednačinama trećeg i četvrtog stepena.
• Teorija kretanja meseca (Theoria motuum lunae, 1772)
• Teorija kretanja planeta i kometa (Theoria motus planetarum et cometarum, 1774) — delo koje se bavi nebeskom mehanikom.

Povezano

• Ojlerov integral
• Teorija grafova
• Ojlerova kružnica
• Ojlerova konstanta
• Ojlerova fi funkcija
• Ojlerova formula
• Ojlerovi polinomi

= Reference

1. Dan Graves (1996). Scientists of Faith. Grand Rapids, MI: Kregel Resources. str. 85–86. 
2. E. T. Bell (1953). Men of Mathematics, Vol. 1. London: Penguin. str. 155. 
3. William Dunham, Euler: The Master of Us All, The Mathematical Association of America, 1999. god., str. 17
4. Dirk J. Strojk, Kratak pregled istorije matematike, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1991. god.
5. Ioan James, Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann, Cambridge, 2002. god., str. 2, ISBN 0-521-52094-0
6. Ian Bruce, Prevod Ojlerove doktorske teze na engleski jezik
7. Ronald Calinger, Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727—1741), Historia Mathematica, 1996. godine, br. 23, str. 156
8. ibid, str. 124—125.
9. E. T. Bell, Men of Mathematics, Thouchstone, Njujork, str. 145, ISBN 0-671-62818-6
10. Ronald Calinger, Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741), Historia Mathematica, 1996. godine, br. 23, str. 127
11. Ronald Calinger, Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741), Historia Mathematica, 1996. godine, br. 23, str. 128-129
12. S. G. Gindikin, Leonard Ojler (povodom 200-godišnjice smrti) Arhivirano 2012-04-14 na Wayback Machine-u, Kvant, 1983, br. 10, str. 20-21
13. Nicolas Fuss. „Eulogy of Leonhard Euler”. Pristupljeno 16. 6. 2008. 
14. J.J. O'Connor, E.F. Robertson. „Leonhard Euler”. Pristupljeno 22. 6. 2008. 
15. Leonard Ojler, Institutiones calculi differentialis
16. William Dunham, Euler: The Master of Us All, The Mathematical Association of America, 1999. god, str. xxiv–xxv
17. Richard Aldington, Letters of Voltaire and Frederick the Great, pismo Fridriha Velikog H 7434, napisano 25. januara 1778, Brentano's, Njujork, 1927
18. B.F. Finkel, Biography - Leonard Euler, The American Mathematical Monthly, 1897, br. 4, str. 300
19. Marquis de Condorcet. „Eulogy of Euler”. Pristupljeno 17. 6. 2008. 
20. Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, str. 439–445, ISBN 0-471-54397-7
21. Stephen Wolfram. „Mathematical Notation: Past and Future”. Pristupljeno 18. 6. 2008. 
22. Gerhard Wanner, Ernst Harrier, Analysis by its history, Springer, 2005, str. 62
23. Richard Feynman, The Feynman Lectures on Physics: Volume I, 1970, glava 22: Algebra
24. David Wells, Are these the most beautiful?, Mathematical Intelligencer, 1990, br. 12, str. 37-41
    David Wells, Which is the most beautiful?, Mathematical Intelligencer, 1988, br. 10, str. 30-31
    Videti još: Ivars Peterson. „The Mathematical Tourist”. Arhivirano iz originala na datum 2007-03-31. Pristupljeno 19. 6. 2008. 
25. William Dunham, Euler: The Master of Us All, The Mathematical Association of America, 1999. god, glava 3-4
26. Dunham, William (1999). „1,4”. Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. 
27. Chris Caldwell. „The largest known prime by year: A Brief History”. Pristupljeno 20. 6. 2008. 
28. Gerald Alexanderson, Euler and Königsberg's bridges: a historical view, Bulletin of the American Mathematical Society, juli 2006, br. 43, str. 567
29. Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, Kembridž, 1997str. 189-190
30. Alan Gibbons, Algorithmic Graph Theory, Cambridge University Press, Kembridž, 1985, str. 72
31. A.L. Cauchy, Recherche sur les polyèdres—premier mémoire, Journal de l'Ecole Polytechnique, 1813, br. 9, str. 66-86
32. S.A.J. L'Huillier, Mémoire sur la polyèdrométrie, Annales de Mathématiques, 1861, br. 3, str. 169-189
33. A.P. Youschkevitch, Biography, Dictionary of Scientific Biography, Njujork, 1970 — 1990
34. R.W. Home, Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light, Annals of Science, 1988, br. 45, str. 521-533
35. M. E. Baron, A Note on The Historical Development of Logic Diagrams, The Mathematical Gazette: The Journal of the Mathematical Association, maj 1969, br. 383
36. Ronald Calinger, Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741), Historia Mathematica, 1996. godine, br. 23, str. 153-154
37. Leonhard Euler, Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister, Leonhardi Euleri Opera Omnia (series 3), 1960
38. John Derbyshire, Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Plume, 2004, ISBN 0-452-28525-5 Uneseni ISBN nije važeći.
39. B.H. Brown, The Euler-Diderot Anecdote, The American Mathematical Monthly, 1942, br. 49, str. 302-303
    R.J. Gillings, The So-Called Euler-Diderot Incident, The American Mathematical Monthly, 1954, br. 61, str 77-80

Literatura

• Lexikon der Naturwissenschaftler, (2000), Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
• Bogolyubov, Mikhailov, and Yushkevich, (2007), Euler and Modern Science, Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-564-X. Translated by Robert Burns.
• Bradley, Robert E., D'Antonio, Lawrence A., and C. Edward Sandifer (2007), Euler at 300: An Appreciation, Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-565-8
• Demidov, S.S., (2005), "Treatise on the differential calculus" in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 191–98.
• Dunham, William (1999) Euler: The Master of Us All, Washington: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-328-0
• Dunham, William (2007), The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work, Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-558-5
• Fraser, Craig G., (2005), "Leonhard Euler's 1744 book on the calculus of variations" in Grattan-Guinness, I, ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 168–80.
• Gladyshev, Georgi, P. (2007), “Leonhard Euler’s methods and ideas live on in the thermodynamic hierarchical theory of biological evolution,” International Journal of Applied Mathematics & Statistics (IJAMAS) 11 (N07), Special Issue on Leonhard Paul Euler’s: Mathematical Topics and Applications (M. T. A.).
• Gautschi, Walter (2008). „Leonhard Euler: his life, the man, and his works”. SIAM Review 50 (1): 3–33. Bibcode 2008SIAMR..50....3G. DOI:10.1137/070702710. ISSN 0036-1445. 
• Heimpell, Hermann, Theodor Heuss, Benno Reifenberg (editors). 1956. Die großen Deutschen, volume 2, Berlin: Ullstein Verlag.
• Krus, D.J. (2001). „Is the normal distribution due to Gauss? Euler, his family of gamma functions, and their place in the history of statistics”. Quality and Quantity: International Journal of Methodology 35: 445–46. Arhivirano iz originala na datum 2006-02-10. Pristupljeno 2013-03-13. 
• Nahin, Paul (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula, New Jersey: Princeton, ISBN 978-0-691-11822-2
• du Pasquier, Louis-Gustave, (2008) Leonhard Euler And His Friends, CreateSpace, ISBN 1-4348-3327-5. Translated by John S.D. Glaus.
• Reich, Karin, (2005), " 'Introduction' to analysis" in Grattan-Guinness, I, ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 181–90.
• Richeson, David S. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press.
• Sandifer, Edward C. (2007), The Early Mathematics of Leonhard Euler, Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-559-3
• Sandifer, Edward C. (2007), How Euler Did It, Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-563-1
• Simmons, J. (1996) The giant book of scientists: The 100 greatest minds of all time, Sydney: The Book Company.
• Sing, Sajmon. (1999). Fermaova poslednja teorema, DN Centar: Beograd, ISBN 86-83239-01-2
• Thiele, Rüdiger. (2005). The mathematics and science of Leonhard Euler, in Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures, G. Van Brummelen and M. Kinyon (eds.), CMS Books in Mathematics, Springer Verlag. ISBN 0-387-25284-3.
• „A Tribute to Leohnard Euler 1707–1783”. Mathematics Magazine 56 (5). November 1983. 

Vanjske veze

Leonhard Euler na Wikimedijinoj ostavi

• Leonhard Euler na sajtu Mathematics Genealogy Project (en)

• Onlajn arhiva radova Leonarda Ojlera (en)
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Leonhard Euler – biografija”. MacTutor History of Mathematics archive.  (en)
• „Ojler - predavanje posvećeno jubileju 3 veka od rođenja“ Arhivirano 2008-12-27 na Wayback Machine-u, koje je održao Robin Vilson na Grešam koledžu, 9. maja 2007. godine (en)
• Porodično stablo Leonarda Ojlera (en)
• Biografija Leonarda Ojlera objavljena u časopisu Kvant:
  • Leonard Ojler, 1983, br. 10 (ru)
  • Leonard Ojler, 1983, br. 11 (ru)