График функции «пол» (целая часть числа)
График функции «потолок»
В математике , целая часть вещественного числа
x
{\displaystyle x}
— округление
x
{\displaystyle x}
до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier ), или пол (англ. floor ). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling ) — округление
x
{\displaystyle x}
до ближайшего целого в большую сторону.
Обозначения и примеры
Впервые квадратные скобки (
[
x
]
{\displaystyle [x]}
) для обозначения целой части числа
x
{\displaystyle x}
использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности [ 1] . Это обозначение считалось стандартным[ 2] , пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language », опубликованной в 1962 году , не предложил[ 3] [ 4] [ 5] округление числа
x
{\displaystyle x}
до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок»
x
{\displaystyle x}
и обозначать
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
и
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
{\displaystyle \lceil x\rceil }
соответственно.
В современной математике используются оба обозначения[ 6] ,
[
x
]
{\displaystyle [x]}
и
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
, однако всё более и более преимущественно применяют терминологию и обозначения Айверсона: одна из причин состоит в том, что для отрицательных чисел понятие «целая часть числа» уже является неоднозначным[ 5] . Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но на то, как определить целую часть числа −2,7, уже возможны две точки зрения: по определению, данному в этой статье,
[
x
]
≡ ≡ -->
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
=
− − -->
3
{\displaystyle [x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3}
, однако в некоторых калькуляторах функция целой части INT для отрицательных чисел определяется как INT(–x ) = –INT(x ), так что INT(–2,7) = −2. Терминология Айверсона лишена этих недостатков:
⌊ ⌊ -->
2
,
7
⌋ ⌋ -->
=
2
,
⌊ ⌊ -->
− − -->
2
,
7
⌋ ⌋ -->
=
− − -->
3
,
⌈ ⌈ -->
2
,
7
⌉ ⌉ -->
=
3
,
⌈ ⌈ -->
− − -->
2
,
7
⌉ ⌉ -->
=
− − -->
2.
{\displaystyle {\begin{matrix}\lfloor 2{,}7\rfloor =2,&\lfloor -2{,}7\rfloor =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3,&\lceil -2{,}7\rceil =-2.\end{matrix}}}
Определения
Функция «пол»
⌊ ⌊ -->
⋅ ⋅ -->
⌋ ⌋ -->
: : -->
x
↦ ↦ -->
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor \colon x\mapsto \lfloor x\rfloor }
определяется как наибольшее целое , меньшее или равное
x
{\displaystyle x}
:
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
=
max
{
n
∈ ∈ -->
Z
∣ ∣ -->
n
⩽ ⩽ -->
x
}
.
{\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leqslant x\}.}
Функция «потолок»
⌈ ⌈ -->
⋅ ⋅ -->
⌉ ⌉ -->
: : -->
x
↦ ↦ -->
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
{\displaystyle \lceil \,\cdot \,\rceil \colon x\mapsto \lceil x\rceil }
— это наименьшее целое, большее или равное
x
{\displaystyle x}
:
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
=
min
{
n
∈ ∈ -->
Z
∣ ∣ -->
n
⩾ ⩾ -->
x
}
.
{\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}.}
Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):[ 7]
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
=
n
⟺ ⟺ -->
n
⩽ ⩽ -->
x
<
n
+
1
⟺ ⟺ -->
x
− − -->
1
<
n
⩽ ⩽ -->
x
,
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
=
n
⟺ ⟺ -->
n
− − -->
1
<
x
⩽ ⩽ -->
n
⟺ ⟺ -->
x
⩽ ⩽ -->
n
<
x
+
1.
{\displaystyle {\begin{matrix}\lfloor x\rfloor =n&\Longleftrightarrow &n\leqslant x<n+1&\Longleftrightarrow &x-1<n\leqslant x,\\\lceil x\rceil =n&\Longleftrightarrow &n-1<x\leqslant n&\Longleftrightarrow &x\leqslant n<x+1.\end{matrix}}}
Свойства
В формулах, записанных ниже, буквами
x
{\displaystyle x}
и
y
{\displaystyle y}
обозначены вещественные числа , а буквами
n
{\displaystyle n}
и
m
{\displaystyle m}
— целые .
Пол и потолок как функции вещественной переменной
Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:
⌊ ⌊ -->
⋅ ⋅ -->
⌋ ⌋ -->
: : -->
R
→ → -->
Z
,
⌈ ⌈ -->
⋅ ⋅ -->
⌉ ⌉ -->
: : -->
R
→ → -->
Z
,
{\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad \lceil \,\cdot \,\rceil \colon \mathbb {R} \to \mathbb {Z} ,\quad }
Пол и потолок — кусочно-постоянные функции .
Функции пол и потолок разрывны : во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.
При этом функция пол является:
Функция потолок является:
Связь функций пол и потолок
Для произвольного числа
x
{\displaystyle x}
верно неравенство[ 8]
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
⩽ ⩽ -->
x
⩽ ⩽ -->
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
{\displaystyle \lfloor x\rfloor \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil }
Для целого
x
{\displaystyle x}
пол и потолок совпадают:
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
=
x
⟺ ⟺ -->
x
∈ ∈ -->
Z
⟺ ⟺ -->
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
=
x
{\displaystyle \lfloor x\rfloor =x\quad \Longleftrightarrow \quad x\in \mathbb {Z} \quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x\rceil =x}
Если
x
{\displaystyle x}
— не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
− − -->
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
=
{
1
,
x
∉ ∉ -->
Z
0
,
x
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}1,&x\notin \mathbb {Z} \\0,&x\in \mathbb {Z} \end{cases}}}
Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:
⌊ ⌊ -->
− − -->
x
⌋ ⌋ -->
=
− − -->
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
,
⌈ ⌈ -->
− − -->
x
⌉ ⌉ -->
=
− − -->
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle \lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil ,\quad \lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor }
Пол/потолок: неравенства
Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами
[ 7] :
n
⩽ ⩽ -->
x
⟺ ⟺ -->
n
⩽ ⩽ -->
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
x
⩽ ⩽ -->
n
⟺ ⟺ -->
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
⩽ ⩽ -->
n
n
<
x
⟺ ⟺ -->
n
<
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
x
<
n
⟺ ⟺ -->
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
<
n
{\displaystyle {\begin{matrix}n\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant n\\n<x&\Longleftrightarrow &n<\lceil x\rceil &\qquad x<n&\Longleftrightarrow &\lfloor x\rfloor <n\end{matrix}}}
Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного .
Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:
x
⩽ ⩽ -->
y
⇒ ⇒ -->
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
⩽ ⩽ -->
⌊ ⌊ -->
y
⌋ ⌋ -->
,
x
⩽ ⩽ -->
y
⇒ ⇒ -->
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
⩽ ⩽ -->
⌈ ⌈ -->
y
⌉ ⌉ -->
{\displaystyle x\leqslant y\Rightarrow \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,\quad x\leqslant y\Rightarrow \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil }
Пол/потолок: сложение
Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка
[ 9] :
⌊ ⌊ -->
x
+
n
⌋ ⌋ -->
=
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
+
n
,
⌈ ⌈ -->
x
+
n
⌉ ⌉ -->
=
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
+
n
{\displaystyle \lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,\quad \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n}
Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
+
⌊ ⌊ -->
y
⌋ ⌋ -->
⩽ ⩽ -->
⌊ ⌊ -->
x
+
y
⌋ ⌋ -->
⩽ ⩽ -->
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
+
⌊ ⌊ -->
y
⌋ ⌋ -->
+
1
,
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
+
⌈ ⌈ -->
y
⌉ ⌉ -->
− − -->
1
⩽ ⩽ -->
⌈ ⌈ -->
x
+
y
⌉ ⌉ -->
⩽ ⩽ -->
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
+
⌈ ⌈ -->
y
⌉ ⌉ -->
{\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leqslant \lfloor x+y\rfloor \leqslant \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\quad \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1\leqslant \lceil x+y\rceil \leqslant \lceil x\rceil +\lceil y\rceil }
Пол/потолок под знаком функции
Имеет место следующее предложение:[ 10]
Пусть
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
— непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке , обладающая свойством:
f
(
x
)
∈ ∈ -->
Z
⇒ ⇒ -->
x
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} \Rightarrow x\in \mathbb {Z} }
Тогда
⌊ ⌊ -->
f
(
x
)
⌋ ⌋ -->
=
⌊ ⌊ -->
f
(
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
)
⌋ ⌋ -->
,
⌈ ⌈ -->
f
(
x
)
⌉ ⌉ -->
=
⌈ ⌈ -->
f
(
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
)
⌉ ⌉ -->
{\displaystyle \lfloor f(x)\rfloor =\lfloor f(\lfloor x\rfloor )\rfloor ,\quad \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil }
всякий раз, когда определены
f
(
x
)
,
f
(
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
)
,
f
(
⌈ ⌈ -->
x
⌉ ⌉ -->
)
{\displaystyle f(x),f(\lfloor x\rfloor ),f(\lceil x\rceil )}
.
В частности,
⌊
x
+
m
n
⌋
=
⌊
⌊
x
⌋
+
m
n
⌋
,
⌈
x
+
m
n
⌉
=
⌈
⌈
x
⌉
+
m
n
⌉
{\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\left\lfloor x\right\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,\quad \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\left\lceil x\right\rceil +m}{n}}\right\rceil }
если
m
{\displaystyle m}
и
n
{\displaystyle n}
— целые числа, и
n
>
0
{\displaystyle n>0}
.
Пол/потолок: суммы
Если
m
,
n
{\displaystyle m,n}
— целые числа,
m
>
0
{\displaystyle m>0}
, то
[ 11]
n
=
⌊
n
m
⌋
+
⌊
n
+
1
m
⌋
+
⋯ ⋯ -->
+
⌊
n
+
m
− − -->
1
m
⌋
{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor }
Вообще, если
x
{\displaystyle x}
— произвольное вещественное число, а
m
{\displaystyle m}
— целое положительное, то
⌊ ⌊ -->
m
x
⌋ ⌋ -->
=
⌊
x
⌋
+
⌊
x
+
1
m
⌋
+
⋯ ⋯ -->
+
⌊
x
+
m
− − -->
1
m
⌋
{\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor }
Имеет место более общее соотношение
[ 12] :
∑ ∑ -->
0
⩽ ⩽ -->
k
<
m
⌊
n
k
+
x
m
⌋
=
d
⌊
x
d
⌋
+
(
m
− − -->
1
)
(
n
− − -->
1
)
2
+
d
− − -->
1
2
,
d
=
(
m
,
n
)
{\displaystyle \sum _{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =d\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor +{\frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{\frac {d-1}{2}},\quad d=(m,n)}
Так как правая часть этого равенства симметрична относительно
m
{\displaystyle m}
и
n
{\displaystyle n}
, то справедлив следующий закон взаимности :
∑ ∑ -->
0
⩽ ⩽ -->
k
<
m
⌊
n
k
+
x
m
⌋
=
∑ ∑ -->
0
⩽ ⩽ -->
k
<
n
⌊
m
k
+
x
n
⌋
,
m
,
n
>
0
{\displaystyle \sum _{0\leqslant k<m}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =\sum _{0\leqslant k<n}\left\lfloor {\frac {mk+x}{n}}\right\rfloor ,\quad m,n>0}
Разложимость в ряд
Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда :
[
x
]
=
∑ ∑ -->
n
=
− − -->
∞ ∞ -->
+
∞ ∞ -->
n
(
θ θ -->
(
x
− − -->
n
)
− − -->
θ θ -->
(
x
− − -->
n
− − -->
1
)
)
,
{\displaystyle [x]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }n\left(\theta (x-n)-\theta (x-n-1)\right),}
где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки » функции. Этот ряд сходится абсолютно , однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду
∑ ∑ -->
n
=
− − -->
∞ ∞ -->
+
∞ ∞ -->
θ θ -->
(
x
− − -->
n
)
,
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\theta \left(x-n\right),}
который расходится .
Применение
Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел . Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.
Количество цифр в записи числа
Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно
[ 13]
⌊ ⌊ -->
log
b
-->
n
⌋ ⌋ -->
+
1
{\displaystyle \lfloor \log _{b}n\rfloor +1}
Округление
Основная статья:
Округление
Ближайшее к
x
{\displaystyle x}
целое число может быть определено по формуле
(
x
)
=
⌊ ⌊ -->
x
+
0
,
5
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle (x)=\lfloor x+0{,}5\rfloor }
Бинарная операция mod
Операция «остаток по модулю», обозначаемая
x
mod
y
{\displaystyle x{\bmod {y}}}
, может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если
x
,
y
{\displaystyle x,y}
— произвольные вещественные числа, и
y
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle y\neq 0}
, то неполное частное от деления
x
{\displaystyle x}
на
y
{\displaystyle y}
равно
⌊ ⌊ -->
x
/
y
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle \lfloor x/y\rfloor }
,
а остаток
x
mod
y
=
x
− − -->
y
⌊ ⌊ -->
x
/
y
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\lfloor x/y\rfloor }
Дробная часть
Основная статья:
Дробная часть
Дробная часть вещественного числа
x
{\displaystyle x}
по определению равна
{
x
}
=
x
mod
1
=
x
− − -->
⌊ ⌊ -->
x
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1=x-\lfloor x\rfloor }
Количество целых точек промежутка
Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами
α α -->
{\displaystyle \alpha }
и
β β -->
{\displaystyle \beta }
, то есть количество целых чисел
n
{\displaystyle n}
, удовлетворяющий неравенству
α α -->
⩽ ⩽ -->
n
⩽ ⩽ -->
β β -->
{\displaystyle \alpha \leqslant n\leqslant \beta }
В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно
⌈ ⌈ -->
α α -->
⌉ ⌉ -->
⩽ ⩽ -->
n
⩽ ⩽ -->
⌊ ⌊ -->
β β -->
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle \lceil \alpha \rceil \leqslant n\leqslant \lfloor \beta \rfloor }
.
Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами
⌈ ⌈ -->
α α -->
⌉ ⌉ -->
{\displaystyle \lceil \alpha \rceil }
и
⌊ ⌊ -->
β β -->
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle \lfloor \beta \rfloor }
, равное
⌊ ⌊ -->
β β -->
⌋ ⌋ -->
− − -->
⌈ ⌈ -->
α α -->
⌉ ⌉ -->
+
1
{\displaystyle \lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1}
.
Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков . Сводка результатов приведена ниже
[ 14] .
# # -->
{
n
∈ ∈ -->
Z
: : -->
α α -->
⩽ ⩽ -->
n
⩽ ⩽ -->
β β -->
}
=
⌊ ⌊ -->
β β -->
⌋ ⌋ -->
− − -->
⌈ ⌈ -->
α α -->
⌉ ⌉ -->
+
1
{\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1}
# # -->
{
n
∈ ∈ -->
Z
: : -->
α α -->
⩽ ⩽ -->
n
<
β β -->
}
=
⌈ ⌈ -->
β β -->
⌉ ⌉ -->
− − -->
⌈ ⌈ -->
α α -->
⌉ ⌉ -->
{\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha \leqslant n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil }
# # -->
{
n
∈ ∈ -->
Z
: : -->
α α -->
<
n
⩽ ⩽ -->
β β -->
}
=
⌊ ⌊ -->
β β -->
⌋ ⌋ -->
− − -->
⌊ ⌊ -->
α α -->
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lfloor \alpha \rfloor }
# # -->
{
n
∈ ∈ -->
Z
: : -->
α α -->
<
n
<
β β -->
}
=
⌈ ⌈ -->
β β -->
⌉ ⌉ -->
− − -->
⌊ ⌊ -->
α α -->
⌋ ⌋ -->
− − -->
1
{\displaystyle \#\{n\in \mathbb {Z} \colon \alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lfloor \alpha \rfloor -1}
(Через
# # -->
M
{\displaystyle \#M}
обозначена мощность множества
M
{\displaystyle M}
) .
Первые три результата справедливы при всех
α α -->
⩽ ⩽ -->
β β -->
{\displaystyle \alpha \leqslant \beta }
, а четвёртый — только при
α α -->
<
β β -->
{\displaystyle \alpha <\beta }
.
Теорема Рэлея о спектре
Пусть
α α -->
{\displaystyle \alpha }
и
β β -->
{\displaystyle \beta }
— положительные иррациональные числа , связанные соотношением
[ 15]
1
α α -->
+
1
β β -->
=
1.
{\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1.}
Тогда в ряду чисел
⌊ ⌊ -->
α α -->
⌋ ⌋ -->
,
⌊ ⌊ -->
β β -->
⌋ ⌋ -->
,
⌊ ⌊ -->
2
α α -->
⌋ ⌋ -->
,
⌊ ⌊ -->
2
β β -->
⌋ ⌋ -->
,
… … -->
,
⌊ ⌊ -->
m
α α -->
⌋ ⌋ -->
,
⌊ ⌊ -->
m
β β -->
⌋ ⌋ -->
,
… … -->
{\displaystyle \lfloor \alpha \rfloor ,\lfloor \beta \rfloor ,\lfloor 2\alpha \rfloor ,\lfloor 2\beta \rfloor ,\ldots ,\lfloor m\alpha \rfloor ,\lfloor m\beta \rfloor ,\ldots }
каждое натуральное
n
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
встречается в точности один раз.
Иными словами, последовательности
{
m
α α -->
∣ ∣ -->
m
∈ ∈ -->
N
}
{\displaystyle \{m\alpha \mid m\in \mathbb {N} \}}
и
{
m
β β -->
∣ ∣ -->
m
∈ ∈ -->
N
}
{\displaystyle \{m\beta \mid m\in \mathbb {N} \}}
,
называемые последовательностями Битти , образуют разбиение натурального ряда.[ 16]
В информатике
В языках программирования
Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil() .
В системах вёрстки
В TeX (и LaTeX ) для символов пола/потолка
⌊ ⌊ -->
{\displaystyle \lfloor }
,
⌋ ⌋ -->
{\displaystyle \rfloor }
,
⌈ ⌈ -->
{\displaystyle \lceil }
,
⌉ ⌉ -->
{\displaystyle \rceil }
существуют специальные команды: \lfloor , \rfloor , \lceil , \rceil . Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.
Примечания
↑ Lemmermeyer, pp. 10, 23.
↑ Обозначение Гаусса использовали Cassels, Hardy & Wright и Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik и Crandall & Pomerance использовали обозначение Айверсона.
↑ Iverson, p. 12.
↑ Higham, p. 25.
↑ 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.
↑ Weisstein, Eric W. Floor Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90.
↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 89.
↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90-91.
↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 93.
↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 108.
↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 112-117.
↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 91.
↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 95-96.
↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 99-100.
↑ А. Баабабов. «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант . — 1999. — № 4 . — С. 36-38 . Архивировано 22 июля 2014 года.
См. также
Литература
Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М. : «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3 .
М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.