Адриан впервые попробовал себя в картинге в 2000 году. Четыре года в подобных соревнованиях приносят серию локальных побед и достаточную уверенность в своих силах, чтобы убедить спонсоров вложить деньги в его карьеру в формульном автоспорте.
Для дебюта выбрана немецкая Формула-БМВ: Цаугг с первых гонок периодически оказывается в группе лидеров по скорости, но недостаточная стабильность результатов не позволяет ему занять в личном зачёте место выше седьмого. Тем не менее менеджмент считает подобный опыт достаточным и в 2005 году переводит южноафриканца в первенства двухлитровой Формулы-Рено. Здесь Цаугг задерживается на два года, постепенно не только борясь с лидерами пелотона, но и выигрывая гонки. Наиболее стабильно удаётся провести сезон-2006 в итальянском чемпионате, когда Адриан становится вице-чемпионом с шестью победами в пятнадцати гонках. В этом же году ему удаётся провести несколько гонок в Формуле-Рено 3.5: Цаугг выигрывает уже свою вторую квалификацию в рамках серии, а позже реализует поул в двойной подиум.
В 2007 году южноафриканец при поддержке Red Bull проводит сезон в GP2, но слишком часто попадая в аварии он набирает за сезон лишь десять очков, а накануне финального этапа команда и вовсе расторгает с ним контракт. 2008 год проходит без участия в регулярных сериях, но в 2009 Адриан возвращается к активным выступлениям, переходя в Формулу-Рено 3.5. Денег хватает на полгода выступлений, за которые он достаточно стабильно финиширует в очковой зоне и даже единожды оказывается на подиумной позиции. Зимой этого же года, изыскав дополнительные спонсорские ресурсы, Адриан участвует сначала в азиатском, а затем в основном первенстве GP2. Предоставленная техника позволяет ему бороться лишь за периодические попадания в очковую зону.
в 2011-12 годах южноафриканец постепенно завершает свою карьеру в формульном автоспорте, с трудом находя деньги на редкие старты. В эти же сроки он пытается найти себя в кузовных гонках, проведя несколько этапов монокубка Lamborghini.
Помимо регулярной карьеры, в 2006-09 годах Адриан привлекался в национальную команду ЮАР в серии A1 Grand Prix. При поддержке DAMS Цаугг скоро делает южноафриканскую сборную одним из лидеров пелотона, стабильно принося ей поулы и победы. В сезоне-2007/08 он в одиночку выводит свою страну на пятое место в зачёте наций. Через год, впрочем, в серии происходит смена технического регламента, к которой франко-африканский союз столь же удачно приспособиться не смог, а на исправление положения времени уже не нашлось — в конце 2009 года чемпионат из-за внутренних проблем был закрыт.
