Родился 1 января 1914 года в селе Ленинское Куршабского района[2][3][К 1] в крестьянской семье. Украинец. Член ВКП(б)/КПСС с 1944 года. Образование неполное среднее. Работал механиком МТС.
Командир танка 43-го гвардейского танкового полка гвардии лейтенант Лаврентий Царенко в числе первых 28 июля 1944 года ворвался в латвийский город Елгава, увлекая за собой пехотинцев. В бою на улицах города офицер со своим танковым экипажем уничтожил три противотанковых орудия и четыре другие огневые точки.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-вражеским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм гвардии лейтенанту Царенко Лаврентию Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
До конца жизни работал в садоводческом совхозе имени Кирова Сокулукского района[5]. Скончался 27 октября 1976 года. Похоронен в столице Киргизии — городе Фрунзе.
Герои Советского Союза: Краткий биографический словарь / Пред. ред. коллегии И. Н. Шкадов. — М.: Воениздат, 1988. — Т. 2 /Любов — Ящук/. — 863 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-203-00536-2.
Их подвиг будет жить в веках / под ред. А. Карыпкулова. — 1. — Фрунзе: Институт истории партии при ЦК Компартии Киргизии, 1985. — 322 с.
Санников В. В., Семенков В. Н. Герои Советского Союза — киргизстанцы. — Фрунзе, 1963.