Фундаментальная матрица

Фундамента́льная ма́трица системы линейных однородных дифференциальных уравнений — матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений этой системы ^[1].

Фундаментальная матрица, нормированная в точке ${\displaystyle t_{0}}$, выделяется из множества всех фундаментальных матриц ${\displaystyle \ F(t)}$ данной системы условием ${\displaystyle F(t_{0})=E}$, где ${\displaystyle E}$ — единичная матрица, и называется матрицант.

Определитель фундаментальной матрицы ${\displaystyle F(t)}$ называется её вронскианом и обозначается ${\displaystyle W_{F}(t)}$. Важное свойство вронскиана фундаментальной матрицы состоит в том, что он не обращается в нуль ни в одной точке.

Критерий фундаментальности

Наряду с линейной однородной системой дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x,\qquad \ \ \ (1)}$

рассмотрим соответствующее матричное уравнение

${\displaystyle {\dot {X}}=A(t)X,\qquad (2)}$,

в котором ${\displaystyle X=X(t)}$ — неизвестная квадратная матрица.

Теорема. Заданная матрица-функция ${\displaystyle X=F(t)}$ является фундаментальной матрицей линейной системы дифференциальных уравнений (1), если и только если, она является решением матричного уравнения (2) и имеет в некоторой (произвольной) точке ненулевой определитель.

Доказательство. Заметим, что матрица-функция ${\displaystyle X=F(t)}$ будет решением матричного уравнения (2) в том и только том случае, когда любой её столбец ${\displaystyle \varphi _{k}}$ является решением линейной однородной системы (1). Действительно, равенство столбцов с номером ${\displaystyle k}$ в левой и правой части матричного уравнения (2) имеет вид ${\displaystyle \varphi '_{k}(t)=A(t)\varphi _{k}(t)}$, что совпадает с линейной однородной системой (1). Теперь сформулированный критерий вытекает из определений и упомянутого выше свойства вронскиана, поскольку линейная независимость столбцов матрицы эквивалентна отличию определителя этой матрицы от нуля.

Примечания

1. Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.

Литература

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1966.
• Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.