Уравнение Монжа — Ампера

Уравнение Монжа — Ампера — дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка вида

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}\right)^{2}=a{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+2b{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}+c{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}+\phi ,}$

коэффициенты которого зависят от переменных ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, неизвестной функции ${\displaystyle z(x,y)}$ и её первых производных ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}},\ {\frac {\partial z}{\partial y}}.}$

История

Уравнения такого типа впервые рассматривались Монжем (1784) и Ампером (1820).

Применение

• Уравнение Монжа — Ампера на ${\displaystyle z=z(x,y)}$ описывает, например, графики функций с данным значением гауссовой кривизны ${\displaystyle \kappa =\kappa (x,y)}$.
• Доказательство гипотезы Калаби.

Вариации и обобщения

• Транспортная задача.

Литература

• Погорелов А. В. Многомерное уравнение Монжа — Ампера. — Наука, 1988.