Уравнение (неравенство) с параметрами

Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:

${\displaystyle a\,x+1=4,}$

Пример нелинейного уравнения с параметром:

${\displaystyle {\mbox{log}}_{x^{2}}{\frac {a+3}{7-x}}=5,}$

где ${\displaystyle x}$ — независимая переменная ${\displaystyle a}$ — параметр.

Аналогично подразделяются и неравенства. Ниже будут представлены примеры решений уравнений и неравенств с параметрами.

Примеры

Пример 1.При каком ${\displaystyle a}$ квадратное уравнение ${\displaystyle {x^{2}}+3\,x-a=0}$ имеет два одинаковых корня?

Решение. Любое квадратное уравнение имеет два равных корня, когда его дискриминант равен нулю. Итак, дискриминант нашего уравнения: ${\displaystyle D=9+4\,a}$. Далее имеем: ${\displaystyle 9+4\,a=0}$, откуда ${\displaystyle a=-{\tfrac {9}{4}}}$.

Ответ:${\displaystyle a=-{\frac {9}{4}}}$.

Пример 2. При каком ${\displaystyle a}$ система уравнений :

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}-2ax-2y-8+a^{2}=0,\\x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0\end{cases}}}$.

имеет ровно два решения?

Решение. Сначала надо преобразовать два уравнения системы, выделив в них полные квадраты: ${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}-2ax-2y-8+a^{2}=0,\\x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\begin{cases}(x^{2}-2ax+a^{2})+(y^{2}-2y+1)=9,\\(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-2y+1)=4\end{cases}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\begin{cases}(x-a)^{2}+(y-1)^{2}=9,\\(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4\end{cases}}}$

Нетрудно догадаться, что эти два равенства системы есть не что иное, как уравнения окружностей. Первая окружность имеет центр в точке ${\displaystyle (a;1)}$, радиус ${\displaystyle 3}$, а вторая центр в точке ${\displaystyle (2;1)}$ и радиус ${\displaystyle 2}$. Если построить схематично эти окружности в одной системе координат, то можно заметить, что их общих точек пересечения будет две в том случае, если ${\displaystyle a\in (-3;1)\cup (3;7)}$. И задачу можно считать решённой.

Ответ:${\displaystyle a\in (-3;1)\cup (3;7)}$.

Пример 3. При всех ${\displaystyle a}$ решить неравенство ${\displaystyle ax^{2}+(a+1)x+1\geqslant 0}$.

Решение. Рассмотрим три случая:

1. Если ${\displaystyle a=0}$, то неравенство приобретает вид ${\displaystyle x+1\geqslant 0\Leftrightarrow x\in [-1;+\infty )}$;
2. Если ${\displaystyle a\geqslant 0}$, то все коэффициенты квадратного трехчлена будут положительны, значит, решение неравенства можно представить в виде ${\displaystyle x\in (-\infty ;x_{1}]\cup [x_{2};+\infty )}$, где ${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{2}}$ - корни многочлена и ${\displaystyle x_{1}\leqslant x_{2}}$. Далее находим: ${\displaystyle x_{1}={\cfrac {-a-1-{\sqrt {a^{2}+2a+1-4a}}}{2a}}\Leftrightarrow x_{1}={\cfrac {-a-1-|a-1|}{2a}}={\begin{cases}-1,a\geqslant 1,\\-{\tfrac {1}{a}},0\leqslant a\leqslant 1\end{cases}}}$

${\displaystyle x_{2}={\begin{cases}-{\tfrac {1}{a}},a\geqslant 1,\\-1,0\leqslant a\leqslant 1\end{cases}}}$

Следовательно, ${\displaystyle x\in (-\infty ;-1]\cup [-{\tfrac {1}{a}};+\infty )}$, если ${\displaystyle a\geqslant 1}$ и ${\displaystyle x\in (-\infty ;-{\tfrac {1}{a}}]\cup [-1;+\infty )}$, если ${\displaystyle 0\leqslant a\leqslant 1}$.

3. Если ${\displaystyle a\leqslant 0}$, то ветви параболы направлены вниз, естественно решение в общем виде будет выглядеть вот так: ${\displaystyle x\in [x_{1};x_{2}]\Leftrightarrow x\in [-1;-{\tfrac {1}{a}}]}$.

Нам остается лишь записать ответ.

Ответ: если ${\displaystyle a=0}$, то ${\displaystyle x\in [-1;+\infty )}$; если ${\displaystyle a\geqslant 1}$, то ${\displaystyle x\in (-\infty ;-1]\cup [-{\tfrac {1}{a}};+\infty )}$; если ${\displaystyle 0\leqslant a\leqslant 1}$, то ${\displaystyle x\in (-\infty ;-{\tfrac {1}{a}}]\cup [-1;+\infty )}$; если ${\displaystyle a\leqslant 0}$, то ${\displaystyle x\in [-1;-{\tfrac {1}{a}}]}$.

См. также

• Диофантово уравнение