Тождество Кассини

Тождество Кассини — тождество, утверждающее, что для ${\displaystyle n}$-го числа Фибоначчи выполняется следующее соотношение:

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}}$.^[1]

Тождество Каталана обобщает это соотношение:

${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}}$.

Формула Кассини была открыта в 1680 году^[2] Джованни Кассини, бывшим в то время директором Парижской обсерватории, доказана Робертом Симсоном в 1753 году. В 1879 году Эжен Каталан обобщил результат.

Быстрое доказательство тождества Кассини можно дать, если представить левую часть тождества в виде определителя матрицы из чисел Фибоначчи размером 2×2, показав, что эта матрица является ${\displaystyle n}$-ой степенью матрицы с определителем −1^[1]:

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}}$

Примечания

1. Кнут, 1976.
2. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — Москва: Мир, 1998. — С. 324, глава 6.6 Числа Фибоначчи.

Литература

• Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. — Москва: Мир, 1976. — Т. 1 Основные алгоритмы. — С. 114 (раздел 1.2.8).
• R. Simson, H. Philip. An Explication of an Obscure Passage in Albert Girard’s Commentary upon Simon Stevin’s Works. — 1753. — Т. 48, вып. 0. — С. 368–376. — doi:10.1098/rstl.1753.0056.
• M. Werman, D. Zeilberger. A bijective proof of Cassini's Fibonacci identity // Discrete Mathematics. — 1986. — Т. 58, вып. 1. — С. 109. — doi:10.1016/0012-365X(86)90194-9.

Ссылки

• Yark, Joey. «proof of Cassini’s identity» (version 21). PlanetMath.org. Freely available at http://planetmath.org/proofofcassinisidentity
• [1]
• [2]
• Cassini formula for Fibonacci numbers
• Fibonacci and Phi Formulae
• George E. Andrews: Number Theory (1971).
• Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik O., Concrete Mathematics, Second Edition, Addison-Wesley, 1994, pages 290—301.
• Michael Z. Spivey, Fibonacci Identities via the Determinant Sum Property, Integre Technical Publishing Co., Inc. College Mathematics Journal 37:4 April 14, 2006