Тетрация

Тетра́ция (гиперопера́тор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году[1].

Определения

Тетрация как степенная башня

Для любого положительного вещественного числа и неотрицательного целого числа , тетрацию можно определить рекуррентно:

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

Или:

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

Или:

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху вниз (или справа налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор

. Бесконечное возведение в степень для основания .

Предел при является положительным вещественным решением уравнения (то есть, ). Предела не существует, когда , так как максимум функции это . Поэтому значений для нет. Предел неопределён, когда , так как вид функции на этом промежутке зависит от того, какое число n — чётное или нечётное. Так, например, когда n чётное, предел в нуле равен 1, а когда n нечётное, предел равен 0 (это следует из того, что ).

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

  1. сложение:
  2. умножение:
  3. возведение в степень:
  4. тетрация:

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства

Тетрация это один из примеров функции с гиперболическим ростом, тоесть абсолютная скорость роста значения пропорциональна квадрату значения, это выглядит так: , проще говоря рост увеличевается с дополнительным ускорением. Для функции верно следующее: .

Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:

  • , например: , но .
  • не равно ни , ни , например: , так как .

Примечание: однако, верно или .

  • Тетрация минус единицы равна минус единице:

Терминология

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

  • Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
  • Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году.[2] Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в его книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»)[3].
  • Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower)[4] есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
  • Термин «степенная башня» (англ. power tower)[5] иногда используется, в форме «степенная башня порядка » для .

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма Терминология
Тетрация
Итерационные экспоненты
Вложенные экспоненты (также башни)
Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях есть основание, и количество появляющихся есть высота. В третьем выражении, есть высота, но все основания разные.

Обозначения

Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута Позволяет удлинение путём добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана Допускает особый случай в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)[6]
Система записи гипероператорами Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII a^^n Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Массивная нотация Бауэрса, Бауэрса/Бёрда[7] {a, b,2} {a, b, c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи Система записи и итерационная система записи была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis) Допускает использование больших выражений в основании.[8]
ASCII (добавочный) a^^n@x Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный) exp_a^n(x) Основана на стандартной форме записи.
Infinity barrier notation Джонатан Бауэрс придумал это [9], и это можно подставить к более высоким гипероперациям

Примеры

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвёртая тетрация от 3 (то есть ) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, последовательность A241292 в OEIS.

1 1 1 1 1
2 4 16 65 536
3 27 7 625 597 484 987
4 256
5 3125
6 46 656
7 823 543
8 16 777 216
9 387 420 489
10 10 000 000 000

Примечание: Если не отличается от 10 по порядку величины, то для всех с высокой точностью выполняется . Например, для основания при и получаем , и разность становится значительно меньше для значений .

Открытые проблемы

  • Неизвестно, может ли быть рациональным числом, если  — целое число, большее 3, а  — рациональное, но не целое число (для ответ отрицателен)[10].
  • Ни для какого целого не известно, является ли положительный корень уравнения рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Примечания

  1. Goodstein R. L. Transfinite ordinals in recursive number theory (неопр.) // Journal of Symbolic Logic[англ.]. — 1947. — Т. 12. — doi:10.2307/2266486.
  2. Bromer N. Superexponentiation (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1987. — Vol. 60, no. 3. — P. 169—174. Архивировано 27 января 2017 года.
  3. Nelson E. Predicative Arithmetic. — Princeton University Press, 1986.
  4. MacDonnell J. F. Somecritical points of the hyperpower function  (англ.) // International Journal of Mathematical Education : journal. — 1989. — Vol. 20, no. 2. — P. 297—305.
  5. Weisstein, Eric W. Power Tower (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Hooshmand M. H. Ultra power and ultra exponential functions (неопр.) // Integral Transforms and Special Functions[англ.]. — 2006. — Т. 17, № 8. — С. 549—558. — doi:10.1080/10652460500422247.
  7. Источник. Дата обращения: 20 января 2013. Архивировано 21 октября 2014 года.
  8. Galidakis I. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals Архивная копия от 25 мая 2006 на Wayback Machine.
  9. cite web |title=Spaces |url=http://www.polytope.net/hedrondude/spaces.htm Архивная копия от 8 апреля 2024 на Wayback Machine |access-date=17 February 2022
  10. Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, «A rational number of the form aa with a irrational», Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106—109. Дата обращения: 28 апреля 2013. Архивировано 6 мая 2014 года.

Ссылки

Read other articles:

В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Жук. Пётр Павлович Жук Дата рождения 16 апреля 1928(1928-04-16) Дата смерти 19 апреля 2009(2009-04-19) (81 год) Награды и премии Пётр Павлович Жук (16 апреля 1928 — 19 апреля 2009) — капитан пассажирских судов системы украинского речного...

 

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Dragon Ball Z: Battle of Gods di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: pa...

 

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: 10-та бригада. 10-та морська авіаційна бригада Нарукавна емблема бригадиЗасновано 20 серпня 2004Країна  УкраїнаВид  Військово-морські силиТип Морська авіаціяЧисельність бригадаПункт базування в/ч А1688, (м. Миколаїв)до...

Questa voce sull'argomento calciatori brasiliani è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Francielle Nazionalità  Brasile Altezza 160 cm Calcio Ruolo CentrocampistaAttaccante Termine carriera 2018 Carriera Squadre di club1 2006-2008 Santos? (?)2009 St. Louis Athletica6 (0)2009 Sky Blue4 (1)2009-2010 Santos? (?)2011-2014 São José? (?)2015 Boston Breakers0 (0)2015&#...

 

Presiden Republik Italia (Italia: Presidente della Repubblica Italiana) merupakan kepala negara Italia. Presiden Italia menjabat selama tujuh tahun dan jabatan tersebut saat ini dipegang oleh Sergio Mattarella. Nomor Foto Nama Lahir-wafat Mulai menjabat Akhir jabatan Partai 1 Enrico De Nicola 1877-1959 1 Januari 1948 12 Mei 1948 Partai Liberal Italia 2 Luigi Einaudi 1874-1961 12 Mei 1948 11 Mei 1955 Partai Liberal Italia 3 Giovanni Gronchi 1887-1978 11 Mei 1955 11 Mei 1962 Demokrasi Kristen 4...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (نوفمبر 2018) مارك بليك معلومات شخصية الميلاد 17 ديسمبر 1967 (العمر 55 سنة)بورتسموث  الطول 6 قدم 0 بوصة (1.83 م)[1][1] مركز اللعب مدافع الجنسية المملكة المتحدة ...

Danis TanovićDanis Tanovic, Mei 2014Lahir20 Februari 1969 (umur 54)Zenica, RS Bosnia dan Herzegovina, YugoslaviaTempat tinggalSarajevo, Bosnia dan HerzegovinaWarga negaraBosnia dan BelgiaPekerjaanSutradara, produser, dan penulis latarTahun aktif1994–sekarang Danis Tanović (kelahiran 20 Februari 1969) adalah seorang sutradara dan penulis latar Bosnia. Tanović paling dikenal karena menyutradarai dan menulis naskah untuk film Bosnia 2001 No Man's Land yang memenangkan Academy Awar...

 

RealAlbum studio karya L'Arc-en-CielDirilisAugust 30, 2000GenreAlternative rock, pop rockDurasi54:16LabelKi/oonProduserL'Arc-en-Ciel, Hajime OkanoKronologi L'Arc-en-Ciel Ectomorphed Works(2000)Ectomorphed Works2000 Real(2000) Clicked Singles Best 13(2001)Clicked Singles Best 132001 Real adalah album kedelapan yang dirilis oleh L'Arc-en-Ciel pada 30 Agustus 2000. Album ini akan menjadi album studio yang terakhir sebelum hiatus berkepanjangan. Salah satu single dari album ini, Stay Away, ta...

 

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方)出典検索?: 庄原市立東城中学校 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2020年3月) 庄原市立東城中学校 北緯34度53分51秒 ...

American football player (born 1988) American football player Ben TateTate with the Cleveland Browns in 2014No. 44, 33Position:Running backPersonal informationBorn: (1988-08-21) August 21, 1988 (age 35)Woodbridge, Virginia, U.S.Height:5 ft 11 in (1.80 m)Weight:220 lb (100 kg)Career informationHigh school:Snow Hill (MD)Stephen Decatur (Berlin, Maryland)College:Auburn (2006–2009)NFL Draft:2010 / Round: 2 / Pick: 58Career history Houston Texans...

 

High-end smartphone line by Huawei Huawei P30 Huawei P30 Pro Huawei P30 LiteHuawei P30 Pro (a sub-version of Huawei P30)CodenameElle (P30) Vogue (P30 Pro)ManufacturerHuaweiSloganRewrite the Rules of PhotographySeriesHuawei P seriesFirst releasedMarch 26, 2019; 4 years ago (2019-03-26)DiscontinuedNonePredecessorHuawei P20SuccessorHuawei P40RelatedHuawei Mate 30TypeCamera phoneForm factorSlateDimensionsP30: 149.1 mm × 71.4 mm × 7.6 mm (5.87 in ...

 

1943 experimental Soviet gun Some of this article's listed sources may not be reliable. Please help this article by looking for better, more reliable sources. Unreliable citations may be challenged or deleted. (March 2020) (Learn how and when to remove this template message) You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Russian. (March 2020) Click [show] for important translation instructions. View a machine-translated version of the Russian arti...

試製一号戦車 性能諸元全長 6.03 m[1]車体長 m全幅 2.4 m[1]全高 2.78 m[1]重量 18.0 t[1]懸架方式 弓形板ばね方式[2]速度 20.0 km/h[1]行動距離 不明、(設計時目標は航続約10時間[3])主砲 57 mm戦車砲×1[4]副武装 重機関銃×2[4]装甲 6〜17 mm[1][5]エンジン 液冷V型8気筒ガソリンエンジン[4]140馬力[4]乗員 5名[4]...

 

Venezuelan actress (born 1930) Teresa SelmaBornTeresa Ramos Monte (1930-08-13) August 13, 1930 (age 93)Puerto Píritu, VenezuelaNationalityVenezuelanMexicanOccupation(s)Actress, voice actress, theater director, theater producerYears active1957–present Teresa Ramos Selma Monte (born August 13, 1930 in Puerto Píritu[1]) is a Venezuelan actress. She has played roles in film, theater, television and dubbing. Career Selma's most recent work includes performances in theatrical ...

 

British TV series or programme SailorHMS Ark Royal in 1976GenreDocumentaryDirected byJohn PurdieOpening themeSailing by Rod StewartCountry of originUnited KingdomOriginal languageEnglishNo. of episodes10ProductionExecutive producerRoger MillsProducerJohn PurdieProduction locationHMS Ark Royal in North AtlanticCinematographyPatrick TurleyCamera setupPeter GordonRunning time326 mins. totalProduction companyBBCOriginal releaseNetworkBBC OneRelease26 August (1976-08-26) –7 Octobe...

Logo Anugerah Musik Indonesia. Penghargaan Anugerah Musik Indonesia untuk Produser/Penata Musik Pop Terbaik diberikan sejak perhelatan ketujuh tahun 2003. Kategori ini diberikan kepada produser atau penata musik pop dengan rilis yang dapat diperhitungkan. Penerima Tahun Pemenang Karya Penampil karya Nomine Ref. 2003 Tohpati Cinta Kita Reza Artamevia N/A [1] Kategori tidak diberikan pada 2004 2005 Erwin Gutawa Andaikan Kau Datang Ruth Sahanaya N/A [2] 2006 Erwin Gutawa Tanpa Ke...

 

Islam Itu IndahGenreIslamiPembuatTim Programming Trans TVPresenter Muhammad Nur Maulana Fadli Muhammad Oki Setiana Dewi Negara asal IndonesiaBahasa asliIndonesiaJmlh. musim13Jmlh. episode4.522 (masih tayang 27 Agustus 2023)ProduksiDurasi90 menit (05:00-06:30 WIB)Rumah produksiTim Programming Trans TVRilis asliJaringanTrans TVRilisMinggu, 30 Januari 2011 –Sekarang Islam Itu Indah adalah acara kajian Islami yang ditayangkan perdana pada 30 Januari 2011 & tayang setiap hari pukul...

 

Ligurian or Gallic tribe The Segobrigii or Segobriges were a Celto-Ligurian people dwelling in the hinterland of the Greek colony of Massalia (modern Marseille) during the Iron Age. They are mentioned in the founding myth of Massalia, recounted by the Greek philosopher Aristotle and by Pompeius Trogus, a Gallo-Roman writer who lived among the nearby Vocontii in the 1st century BC. Built around the historical founding of the city by Greek settlers ca. 600 BC, the legend tells how the daughter ...

Indian Netflix film For the 1983 film, see Jaane Jaan. Jaane JaanOfficial release posterDirected bySujoy GhoshWritten byDialogues:Sujoy GhoshRaj VasantScreenplay bySujoy GhoshBased onThe Devotion of Suspect X by Keigo HigashinoProduced by Jay Shewakramani Akshai Puri Hyunwoo Thomas Kim Shobha Kapoor Ekta Kapoor Starring Kareena Kapoor Khan Jaideep Ahlawat Vijay Varma CinematographyAvik MukhopadhyayEdited byUrvashi SaxenaMusic bySongs:Sachin-JigarScore:Clinton CerejoProductioncompaniesBalaji M...

 

Legislative body of the province of Pampanga, Philippines Pampanga Provincial Board Sangguniang Panlalawigan ng PampangaTypeTypeUnicameral Term limits3 terms (9 years)LeadershipPresiding OfficerLilia Pineda, Kambilan since June 30, 2019 StructureSeats13 board members1 ex officio presiding officerPolitical groups   Kambilan (6)   NPC (2)   Aksyon (1)   NP (1)   Nonpartisan (2) Length of term3 yearsAuthorityLocal Government Code of the PhilippinesElectionsVoting sys...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!