Тест отноше́ния правдоподо́бия (англ. likelihood ratio test, LR) — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оценённых на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом множителей Лагранжа и тестом Вальда.
Пусть имеется эконометрическая модель с вектором параметров b {\displaystyle b} . Необходимо проверить по выборочным данным гипотезу H 0 : g ( b ) = 0 {\displaystyle H_{0}\colon ~g(b)=0} , где g {\displaystyle g} — совокупность (вектор) некоторых функций параметров. Идея теста основана на сравнении функций правдоподобия для длинной модели (без ограничений) и короткой модели (с ограничениями). Оказывается, что следующая простая статистика отношения правдоподобия
L R = 2 ( l L − l S ) = 2 ln L L L S , {\displaystyle LR=2(l_{L}-l_{S})=2\ln {\frac {L_{L}}{L_{S}}},}
где l L , l S {\displaystyle l_{L},~l_{S}} — значения логарифмической функции правдоподобия длинной и короткой моделей, соответственно, при нулевой гипотезе имеет (возможно асимптотически) распределение χ 2 ( q ) {\displaystyle \chi ^{2}(q)} — распределение хи-квадрат с q {\displaystyle q} степенями свободы, где q {\displaystyle q} — это количество ограничений. Поэтому, если значение статистики больше критического значения этого распределения при заданном уровне значимости, то ограничения отвергаются, и предпочтение отдаётся длинной модели. В противном случае предпочтение отдаётся короткой модели.
В случае, если случайные ошибки модели являются i i d N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyle iid\;N(0,\sigma ^{2})} , то можно показать, что
L R = n ln E S S S E S S L . {\displaystyle LR=n\ln {\frac {ESS_{S}}{ESS_{L}}}.}
В частности, при проверке значимости регрессии E S S S = T S S {\displaystyle ESS_{S}=TSS} , следовательно
L R = n ln T S S E S S = n ln 1 1 − R 2 = − n ln ( 1 − R 2 ) . {\displaystyle LR=n\ln {\frac {TSS}{ESS}}=n\ln {\frac {1}{1-R^{2}}}=-n\ln(1-R^{2}).}
Доказано, что тест Вальда (W), тест отношения правдоподобия (LR) и тест множителей Лагранжа (LM) — асимптотически эквивалентные тесты (LM = LR = W). Тем не менее, для конечных выборок значения статистик не совпадают. Для линейных ограничений доказано неравенство L M ⩽ L R ⩽ W {\displaystyle LM\leqslant LR\leqslant W} . Тем самым тест отношения правдоподобия занимает некоторое среднее положение по частоте отвержения нулевой гипотезы по сравнению с тестами множителей Лагранжа и тестом Вальда. В случае нелинейных ограничений первая часть неравенства выполняется, а вторая — вообще говоря, нет.
Вместо LR-теста можно проводить асимптотический F-тест, статистика которого выражается через LR-статистику следующим образом F = n − k q ( e L R / n − 1 ) {\displaystyle F={\frac {n-k}{q}}(e^{LR/n}-1)} .