Теорема Эрдёша — Галлаи

Теорема Эрдёша — Галлаи (критерий Эрдёша — Галлаи) — утверждение в теории графов, задающее условие, при котором конечной последовательности натуральных чисел можно сопоставить степени вершин некоторого графа. Такие последовательности чисел называются графическими. Теорема доказана венгерскими математиками Палом Эрдёшем и Тибором Галлаи (венг. Gallai Tibor)^[1] в 1960 году.

Формулировка

Для формулировки утверждения вводятся следующие определения:

• правильная последовательность — последовательность натуральных чисел длины ${\displaystyle n}$, удовлетворяющая следующим условиям:
  1. ${\displaystyle n-1\geq d_{1}\geq d_{2}\geq \ldots \geq d_{n}}$,
  2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}}$ — чётное число;
• графическая последовательность чисел — последовательность ${\displaystyle (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n})}$ целых неотрицательных чисел такая, что существует граф, последовательность степеней вершин которого совпадает с ней.

Теорема утверждает, что правильная последовательность ${\displaystyle (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n})}$ является графической тогда и только тогда, когда для каждого ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$, верно неравенство:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{{d_{i}}\leq k(k-1)}+\sum _{i=k+1}^{n}{\min\{k,{d_{i}}}\}}$.

Алгоритмизация

Построить граф по графической последовательности можно полиномиальным алгоритмом, который строится на основании критерия Гавела — Хакими^[2].

Примечания

1. Erdős, P.; Gallai, T. (1960), "Gráfok előírt fokszámú pontokkal" (PDF), Matematikai Lapok, 11: 264—274, Архивировано из оригинала (PDF) 20 января 2022, Дата обращения: 20 февраля 2013
2. Hakimi, S. L. (1962), "On realizability of a set of integers as degrees of the vertices of a linear graph. I", Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 10: 496—506, MR 0148049

Литература

• Лекции по теории графов / В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. — М.: Наука, 1990.