Теорема Ферма о многоугольных числах

Теорема Ферма о многоугольных числах утверждает, что любое натуральное число представимо как сумма не более ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$-угольных чисел.

Примеры

Примеры разбиения натуральных чисел от 1 до 30 в соответствии с теоремой Ферма^[1]:

Число	Сумма не более трёх треугольных чисел	Сумма не более четырёх квадратных чисел	Сумма не более пяти пятиугольных чисел
1	1	${\displaystyle 1}$	1
2	1 + 1	1 + 1	1 + 1
3	3	1 + 1 + 1	1 + 1 + 1
4	3 + 1	${\displaystyle 2^{2}}$	1 + 1 + 1 + 1
5	3 + 1 + 1	${\displaystyle 2^{2}+1}$	5
6	6	${\displaystyle 2^{2}+1+1}$	5 + 1
7	6 + 1	${\displaystyle 2^{2}+1+1+1}$	5 + 1 + 1
8	6 + 1 + 1	${\displaystyle 2^{2}+2^{2}}$	5 + 1 + 1 + 1
9	6 + 3	${\displaystyle 3^{2}}$	5 + 1 + 1 + 1 + 1
10	10	${\displaystyle 3^{2}+1}$	5 + 5
11	10 + 1	${\displaystyle 3^{2}+1+1}$	5 + 5 + 1
12	6 + 6	${\displaystyle 2^{2}+2^{2}+2^{2}}$	12
13	10 + 3	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}}$	12 + 1
14	10 + 3 + 1	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}+1}$	12 + 1 + 1
15	15	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}+1+1}$	5 + 5 + 5
16	15 + 1	${\displaystyle 4^{2}}$	5 + 5 + 5 + 1
17	10 + 6 + 1	${\displaystyle 4^{2}+1}$	12 + 5
18	15 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}}$	12 + 5 + 1
19	10 + 6 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+1}$	12 + 5 + 1 + 1
20	10 + 10	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}}$	5 + 5 + 5 + 5
21	21	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}+1}$	5 + 5 + 5 + 5 + 1
22	21 + 1	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+2^{2}}$	22
23	10 + 10 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+2^{2}+1}$	22 + 1
24	21 + 3	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}+2^{2}}$	12 + 12
25	15 + 10	${\displaystyle 5^{2}}$	12 + 12 + 1
26	15 + 10 + 1	${\displaystyle 5^{2}+1}$	12 + 12 + 1 + 1
27	21 + 6	${\displaystyle 5^{2}+1+1}$	22 + 5
28	28	${\displaystyle 5^{2}+1+1+1}$	22 + 5 + 1
29	28 + 1	${\displaystyle 5^{2}+2^{2}}$	12 + 12 + 5
30	15 + 15	${\displaystyle 5^{2}+2^{2}+1}$	12 + 12 + 5 + 1

История

Теорема названа именем Пьера Ферма, который выдвинул это утверждение в 1638 году без доказательства, но обещал представить его в отдельной статье, которая так никогда и не появилась^[2]. В 1770 году Лагранж доказал эту теорему для квадратных чисел^[2]. Гаусс доказал теорему для треугольных чисел в 1796 году. Молодой Гаусс сопроводил свою находку записью в дневнике: «Эврика!»^[3] и опубликовал доказательство в книге Арифметические исследования. Этот результат Гаусса известен как «теорема эврика»^[4] Полностью теорему доказал Коши в 1813 году.^[2] .Последующие доказательства основаны на доказанных Коши леммах^[5].

Частные случаи

Наиболее интересны квадратный ${\displaystyle m=n^{2}}$ и треугольный ${\displaystyle m={\frac {n(n+1)}{2}}}$ случаи. Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов вместе с теоремой Лежандра о трёх квадратах решают проблему Варинга для ${\displaystyle n=2}$. А в случае треугольных чисел замена квадрата на квадратный многочлен позволяет уменьшить необходимое число слагаемых.

Примечания

1. Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике (рус.). — М.: Де Агостини, 2014. — С. 146. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3.
2. Sir Thomas Little (1910), Diophantus of Alexandria;история греческой алгебры, Cambridge University Press, p. 188
3. Bell, Eric Temple (1956), Gauss, the Prince of Mathematicians, in Newman, James R. (ed.), The World of Mathematics, vol. I, Simon & Schuster, pp. 295–339. Dover reprint, 2000, ISBN 0-486-41150-8.
4. Ono, Ken; Robins, Sinai; Wahl, Patrick T. (1995), On the representation of integers as sums of triangular numbers, Aequationes Mathematicae, 50 (1–2): 73–94, doi:10.1007/BF01831114, MR 1336863.
5. Nathanson, Melvyn B. (1987), A short proof of Cauchy's polygonal number theorem, Proceedings of the American Mathematical Society, 99 (1): 22–24, doi:10.2307/2046263, MR 0866422

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Fermat's Polygonal Number Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Nathanson, Melvyn B. (1996), Additive Number Theory The Classical Bases, Berlin: Springer, ISBN 978-0-387-94656-6. Содержит доказательство теоремы Лагранжа и теоремы о многоугольных числах.