Теорема Париса — Харрингтона

Теорема Па́риса — Ха́ррингтона (или Пэ́риса — Ха́ррингтона) — теорема в математической логике, ставшая первым в истории математики естественным и относительно несложным примером утверждения о натуральных числах, которое истинно, но недоказуемо в аксиоматике Пеано. Существование недоказуемых теорем арифметики прямо вытекает из первой теоремы Гёделя о неполноте (1930 год). Кроме того, вторая теорема Гёделя, (опубликованная вместе с первой), даёт конкретный пример такого утверждения: а именно утверждение о непротиворечивости арифметики. Однако долгое время не было известно «естественных» примеров таких утверждений, то есть таких утверждений, которые бы возникали не из утверждений о некоторой логике, а были бы естественными математическими утверждениями о числах.

Данная теорема и её доказательство были опубликованы в 1977 году Джеффри Парисом (Великобритания) и Лео Харрингтоном (США).

Усиленная теорема Рамсея

Результат Париса—Харрингтона опирается на несколько модифицированную комбинаторную теорему Рамсея^[1]:

Для любых натуральных чисел ${\displaystyle n,k,m}$ можно указать натуральное ${\displaystyle N}$ со следующим свойством: если мы окрасим каждое из ${\displaystyle n}$-элементных подмножеств ${\displaystyle S=\{1,2,3,\dots N\}}$ в один из ${\displaystyle k}$ цветов, то в ${\displaystyle S}$ существует подмножество ${\displaystyle Y,}$ содержащее не менее ${\displaystyle m}$ элементов таких, что все ${\displaystyle n}$-элементные подмножества ${\displaystyle Y}$ имеют один и тот же цвет, а количество элементов ${\displaystyle Y}$ не меньше, чем наименьший элемент ${\displaystyle Y.}$

Без условия «количество элементов ${\displaystyle Y}$ не меньше, чем наименьший элемент ${\displaystyle Y}$» это утверждение вытекает из конечной теоремы Рамсея. Отметим, что усиленный вариант теоремы Рамсея может быть записан на языке логики первого порядка^[2].

Формулировка

Теорема Париса-Харрингтона утверждает:

Сформулированная выше усиленная теорема Рамсея не доказуема в аксиоматике Пеано.

В своей статье Парис и Харрингтон показали, что из этой теоремы вытекает непротиворечивость аксиоматики Пеано; однако, как показал Гёдель, арифметика Пеано не в состоянии доказать свою собственную непротиворечивость, поэтому теорема Париса-Харрингтона в ней недоказуема. С другой стороны, используя логику второго порядка или аксиоматику теории множеств ZF, несложно доказать, что усиленная теорема Рамсея истинна^[2].

Другие примеры недоказуемых теорем арифметики

• Теорема Гудстейна
• Теорема Канамори–Макалуна^[англ.]
• Теорема о дереве Краскала^[англ.]

Примечания

1. Paris J., Harrington L., 1977.
2. MathWorld.

Литература

• Paris J., Harrington L. A Mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic // Handbook of Mathematical Logic. — Amsterdam: North-Holland, 1977. — ISBN 072042285X. (первая авторская публикация теоремы)
• Marker, David. Model Theory: An Introduction (англ.). — New York: Springer^[англ.], 2002. — ISBN 0-387-98760-6.

Ссылки

• Кочетков Ю. Ю. Вычислимые функции. Глава 19. Теоремы, недоказуемые в аксиоматической арифметике  (неопр.). Дата обращения: 17 августа 2018.
• Bovykin, Andrey, Weisstein, Eric W. Paris-Harrington Theorem (англ.). Дата обращения: 17 августа 2018. на сайте MathWorld (англ.).
• Bovykin, Andrey. Brief introduction to unprovability (содержит доказательство теоремы).