Теорема Киршбрауна о продолжении

Теорема Киршбрауна о продолжении (иногда называется теорема Валентайн) — теорема о существовании продолжения липшицевой функции определённой на подмножестве евклидова пространства на всё пространство.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle S}$ произвольное подмножество евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, тогда произвольное короткое отображение ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{m}}$ можно продолжить до короткого отображения ${\displaystyle {\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$; иначе говоря, существует короткое отображение ${\displaystyle {\bar {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ такое, что ${\displaystyle {\bar {f}}|_{S}=f}$.

Вариации и обобщения

• Естественно обобщается на
  • Отображения из подмоножества гильбертова пространства в гильбертово пространство.
  • Отображения из подмоножества пространства Лобачевского в пространство Лобачевского той же кривизны
• Аналогичный результат для отбражений между сферами не верен, однако теорема остаётся верной для
  • Отображения из подмоножества сферы в полусферу той же кривизны.
  • Отображения из подмоножества сферы в сферу той же кривизны не меньшей размерности.
• Аналогичный результат для банаховых пространств неверен.

Метрическая геометрия

• Обобщение теоремы Киршбрауна на метрические пространства дано Лэнгом и Шрёдерем^[1][2]
• Любое короткое отображение определённое на подмножестве произвольного метрического пространства со значениями в инъективном пространстве допускает короткое продолжение на всё пространство. Это даёт другое обобщение теоремы на метрические пространства. К инъективным пространствам относятся вещественная прямая и метрические деревья а также ${\displaystyle L^{\infty }}$-пространства.
• Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если ${\displaystyle X}$ — метрическое пространство со свойством удвоения и ${\displaystyle A\subset X}$ и ${\displaystyle V}$ — банахово пространство, то любое ${\displaystyle L}$-Липшицево отображение ${\displaystyle A\to V}$ продолжается до ${\displaystyle C\cdot L}$-Липшицева отображения ${\displaystyle X\to V}$, где константа ${\displaystyle C}$ зависит только от параметра в свойстве удвоения.^[3]

История

Была доказана в диссертации Мойжеша Киршбрауна (защищена в 1930)^[4]. Позже эту теорему передоказал Фредерик Валентайн^[5].

См. также

• Теорема Титце о продолжении

Примечания

1. Lang, U.; Schroeder, V. Kirszbraun's theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7 (1997), no. 3, 535–560.
2. Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov meets Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.
3. 4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
4. M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math., (22):77-108, 1934.
5. F. A. Valentine, "On the extension of a vector function so as to preserve a Lipschitz condition, "Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, pp. 100—108, 1943.