Теорема Брауэра о неподвижной точке

Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

История

Приоритет в открытии теоремы принадлежит Пирсу Георгиевичу Болю: в своей работе 1904 года^[1] он сформулировал и доказал теорему эквивалентную теореме о неподвижной точке и описал применение этой теоремы к теории дифференциальных уравнений^[2]. Однако его результат не был замечен. В 1909 году Брауэр переоткрыл эту теорему для случая ${\displaystyle n=3}$.

Формулировка

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве ${\displaystyle B^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Пусть ${\displaystyle f\colon B^{n}\to B^{n}}$ — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка ${\displaystyle x\in B^{n}}$, что ${\displaystyle f(x)=x}$.

Доказательство

Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.

Пусть теперь ${\displaystyle f\colon B^{n}\to B^{n}}$ — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки ${\displaystyle x}$ рассмотрим прямую, проходящую через точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle f(x)}$ (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть ${\displaystyle y}$ — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем ${\displaystyle x}$ лежит между ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle y}$. Легко видеть, что отображение ${\displaystyle x\mapsto y}$ — ретракция шара на его границу. Противоречие.

Вариации и обобщения

• Теорема Какутани о неподвижной точке
• Теорема Шаудера о неподвижной точке^[англ.] является обобщением теоремы Брауэра на случай выпуклых компактов в банаховых пространствах.
• Теорема Шаудера — Тихонова является обобщением теоремы Шаудера на случай локально выпуклых топологических векторных пространств.
• Лемма Шпернера — комбинаторный аналог теоремы Брауэра.
• Теорема об инвариантности области — основанное на теореме утверждение что образ непрерывного инъективного отображения Евклидова пространства в себя открыт.

Следствия

• Теорема о причёсывании ежа
• Теорема Лефшеца

Примечания

1. Über die Bewegung eines mechanischen Systems in die Nähe einer Gleichgewichtslage (J. reine, angew. Math. 127 (1904), 179-276
2. А. Д. Мышкис, И. М. Рабинович. Первое доказательство теоремы о неподвижной точке при непрерывном отображении шара в себя, данное латышским математиком П.Г.Болем (рус.) // Успехи математических наук : журнал. — Российская академия наук, 1955. — Т. 10, № 3. — С. 188—192.

Литература

• Шашкин Ю. А. Неподвижные точки. — М.: Наука, 1989. — 80 с. — (Популярные лекции по математике). — 92 000 экз.