Счёт денежного рынка

Банковский счет (счет денежного рынка — money market account) — понятие, применяемое в стохастической финансовой теории (математике), обозначающее локально предсказуемый случайный процесс ${\displaystyle B_{t}}$ экспоненциального роста условной начальной суммы ${\displaystyle B_{0}}$, обычно принимаемой равной одной денежной единице. Локальный темп роста (процентная ставка этого счета) при этом представляет собой случайный процесс в общем случае. Эту процентную ставку называют также краткосрочной ставкой (short rate), иногда мгновенной спот-ставкой.

В дискретном времени локальная предсказуемость процесса банковского счета означает, что остаток счета в конце очередного периода известно в начале этого периода начисления. Примером такого счета в дискретном времени является счет, на который за каждый последующий день начисляется овернайт-ставка, установленная за предшествующий день (при этом овернайт-ставка может изменяться каждый день случайным образом).

Банковский счет и соответствующая ставка начисления неявно предполагаются безрисковыми — кредитный риск считается нулевым. Неопределенность будущего остатка на счете связана исключительно со случайным характером изменения процентной ставки, а в локальном смысле неопределенность отсутствует - будущее значение за достаточно малый период точно известно в данный момент. При наличии кредитного риска кроме неопределенности из-за изменения ставки имеется неопределенность, связанная с получением средств от контрагента, поэтому будущий остаток на счете не определяется только динамикой ставки.

Наиболее приближенным практическим примером может служить счет, на который начисляется овернайт-ставка SOFR, RUSFAR, RUONIA, ESTR и т.д. Часто необеспеченные овернайт-ставки между надежными контрагентами также принимаются за безрисковые ставки.

Банковский счет является базой (так называемым numeraire) при построении риск-нейтральной меры ^[1]

Математическая формулировка

Дискретное время

Предполагается что в начале каждого дискретного периода времени номер ${\displaystyle i}$ устанавливается ставка начисления ${\displaystyle r_{i}}$, которая начисляется в текущем периоде времени на остаток банковского счета на начало периода (на конец предыдущего периода ${\displaystyle B_{i-1}}$. Таким образом, за текущий период банковский счет изменится на величину

${\displaystyle \Delta B_{i}=B_{i}-B_{i-1}=r_{i}B_{i-1}\Delta t_{i}}$

Принципиально важно, что несмотря на обозначение ${\displaystyle r_{i}}$ это значение процентной ставки на ${\displaystyle i}$ -й период становится известным в конце предыдущего ${\displaystyle i-1}$-го периода или, что тоже самое - в начале ${\displaystyle i}$-го периода. Поэтому значение банковского счета в конце ${\displaystyle i}$-го периода уже известно в начале этого периода (риск возможной потери средств - кредитный риск- исключается, банковский счет неявно рассматривается как безрисковый). Говорят, что случайная величина ${\displaystyle B_{i}}$ является ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i-1}}$-измеримая случайная величина.

Соответственно, динамика банковского счета определяется как

${\displaystyle B_{n}=B_{0}\prod _{i=1}^{n}(1+r_{i}\Delta t_{i})}$

Непрерывное время

Динамика процесса банковского счета описывается следующим дифференциальным уравнением

${\displaystyle dB_{t}=r_{t}B_{t}dt}$

где ${\displaystyle r_{t}}$ - мгновенная спот-ставка (случайный процесс).

В данной дифференциальной записи отсутствует компонент, зависящий от некоторого винеровского процесса - это и означает локальную предсказуемость процесса. В случае непрерывного времени иногда говорят, что ${\displaystyle B_{t}}$ является ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{-}}}$-измеримой случайной величиной.

В интегральной форме процесс имеет вид (процесс экспоненциального роста со случайной интенсивностью)

${\displaystyle B_{t}=B_{0}e^{\int _{0}^{t}r_{u}du}=e^{\int _{0}^{t}r_{u}du}}$

Связанные понятия

Дисконтирующий процесс ${\displaystyle D(t,T)=B_{t}/B_{T}=e^{-\int _{t}^{T}r_{u}du}}$. Дисконтирующий процесс применяется в формулах оценки будущего условного платежа в риск-нейтральной мере:

${\displaystyle V_{t}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)V_{T}]}$

Эта же формула применима и для стоимости бескупонной облигации с единичным номиналом (дисконт- фактор), когда ${\displaystyle V_{T}=P(T,T)=1}$

${\displaystyle P(t,T)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }(B_{t}/B_{T})=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }{\Bigl [}e^{-\int _{t}^{T}r_{u}du}{\Bigr ]}}$

Таким образом, применяемые на практике дисконт-факторы (по безрисковым ставкам) - это условные математические ожидания (в риск-нейтральной мере) дисконтирующего процесса, определяемого через процесс банковского счета. Если процесс процентной ставки является детерминированным, то дисконт-факторы и дисконтирующий процесс совпадают.

Примечания

1. D.Brigo, F.Mercurio. Interest-Rate Models: Theory and Practice - with Smile, Inflation and Credit (англ.). — Springer, 2nd ed, 2006.