Суперсимметричная квантовая механика

В теоретической физике, суперсимметричная квантовая механика — это область исследований, где математические понятия из области физики высоких энергий применяются в области квантовой механики. Суперсимметрия, под которой понимают преобразование из бозонных операторов в фермионные и обратно, объединяет непрерывные преобразования (бозонные) и дискретные (фермионные). В современной теории бозоны связывают с переносчиками взаимодействия, а фермионы с материей, но суперсимметрия смогла объединить эти два понятия. Суперсимметрия оказалась также полезной для борьбы с расходимостями в квантовой теории поля, что обусловило интерес к этой теории^[1].

Введение

Доказать последствия суперсимметрии математически сложно, и также трудно разработать теорию, которая могла бы демонстрировать нарушение симметрии, то есть отсутствие наблюдаемых партнеров частиц равной массы. Чтобы добиться прогресса в решении этих проблем, физики разработали суперсимметричную квантовую механику, то есть теорию применения суперсимметричной супералгебры в квантовой механике в отличие от квантовой теории поля. Следует надеяться, что изучение последствий суперсимметрии в этой простой постановке, приведет к новому пониманию; примечательно, что сопутствующие достижения привели к созданию новых направлений исследований в самой квантовой механике.

Например, студентов обычно учат, «решать» водородный атом в виде трудоёмкого процесса, который начинается путем включения кулоновского потенциала в уравнение Шредингера. После значительного объёма работы с использованием многих дифференциальных уравнений, анализом получают рекуррентные соотношения для полиномов Лагерра. Окончательным результатом является спектр: энергетические состояния атома водорода (обозначеные квантовыми числами n и l). С помощью идей, почерпнутых из суперсимметрии, конечный результат можно получить при значительно меньших затратах, во многом таким же образом, как при операторном методе для решения гармонического осциллятора.^[2] Подобный суперсимметричный подход можно использовать, чтобы точнее найти спектра водорода, используя уравнения Дирака.^[3] Как ни странно, этот подход аналогичен способу, который использовал Эрвин Шредингер впервые решая атом водорода.^[4][5] Конечно, он не называл своё решение суперсимметричным так как сама теория суперсимметрии появилась на тридцать лет позже.

Суперсимметричное решение атома водорода только один пример очень общего класса решений: потенциалов инвариантной формы англ. shape-invariant potentials. Эта категория включает большинство потенциалов преподаваемых в вводных курсах квантовой механики.

Суперсимметричная квантовая механика включает в себя пары гамильтонианов, между которыми имеются конкретные математические соотношения. Их называют гамильтонианы-партнеры англ. partner Hamiltonians. Тогда соответствующие потенциалы в гамильтонианах называют потенциалы-партнер англ. partner potentials). Основная теорема показывает, что для всех собственных состояний одного гамильтониана, его гамильтониан-партнер имеет соответствующие собственные состояния с той же энергией (за исключением, возможно, собственных состояний нулевой энергии. Этот факт можно использовать для вывода многих свойств спектра собственных состояний. Это аналог оригинального описания суперсимметрии, которая касается бозонов и фермионов. Мы можем представить себе «бозонный гамильтониан», чьи состояния являются различными бозонами нашей теории. Суперсимметричный партнёр этого гамильтониана будет «Фермионным», и его собственные состояния будут описывать фермионы. Каждому бозону соответствует фермионной партнер равной энергии — но, в релятивистском мире, энергия и масса взаимозаменяемы, поэтому мы можем просто сказать, что частицы партнеры имеют равные массы.

Концепция суперсимметрии предоставляет полезные расширения в ВКБ приближении, в виде модифицированной версией условия квантования Бора — Зоммерфельда. Кроме того, суперсимметрию применяют в не квантовой статистической механике с помощью уравнения Фоккера — Планка. Этот пример показывает, что, даже если исходная идея в физике элементарных частиц заведёт в тупик, её исследование в других областях расширило наше понимание.

Пример: гармонический осциллятор

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора принимает вид

${\displaystyle H^{HO}\psi _{n}(x)={\bigg (}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}{\bigg )}\psi _{n}(x)=E_{n}^{HO}\psi _{n}(x),}$

где ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ это ${\displaystyle n}$й уровень ${\displaystyle H^{HO}}$ с энергией ${\displaystyle E_{n}^{HO}}$. Мы хотим найти выражение для ${\displaystyle E_{n}^{HO}}$ как функцию ${\displaystyle n}$. Определим операторы

${\displaystyle A={\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x)}$

и

${\displaystyle A^{\dagger }=-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x),}$

где ${\displaystyle W(x)}$, которой мы должны выбрать сами, называется суперпотенциалом ${\displaystyle H^{HO}}$. Определим гамильтонианы-партнеры ${\displaystyle H^{(1)}}$ и ${\displaystyle H^{(2)}}$ как

${\displaystyle H^{(1)}=A^{\dagger }A={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x)}$

${\displaystyle H^{(2)}=AA^{\dagger }={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}W^{\prime }(x)+W^{2}(x).}$

Основное состояние с нулевой энергией ${\displaystyle \psi _{0}^{(1)}(x)}$ из ${\displaystyle H^{(1)}}$ будет удовлетворять уравнению

${\displaystyle H^{(1)}\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }A\psi _{0}^{(1)}(x)=A^{\dagger }{\bigg (}{\frac {\hbar }{\sqrt {2m}}}{\frac {d}{dx}}+W(x){\bigg )}\psi _{0}^{(1)}(x)=0.}$

Предполагая, что мы знаем основное состояние гармонического осциллятора ${\displaystyle \psi _{0}(x)}$ найдём ${\displaystyle W(x)}$ как

${\displaystyle W(x)={\frac {-\hbar }{\sqrt {2m}}}{\bigg (}{\frac {\psi _{0}^{\prime }(x)}{\psi _{0}(x)}}{\bigg )}=x{\sqrt {m\omega ^{2}/2}}}$

Затем мы находим, что

${\displaystyle H^{(1)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}-{\frac {\hbar \omega }{2}}}$

${\displaystyle H^{(2)}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {\hbar \omega }{2}}.}$

Теперь мы можем увидеть, что

${\displaystyle H^{(1)}=H^{(2)}-\hbar \omega =H^{HO}-{\frac {\hbar \omega }{2}}.}$

Это частный случай инвариантности формы, которая обсуждается ниже. Принимая без доказательств основную теорему, очевидно, что спектр ${\displaystyle H^{(1)}}$ начинается с ${\displaystyle E_{0}=0}$ и дальше увеличивается шагами ${\displaystyle \hbar \omega .}$ Спектры ${\displaystyle H^{(2)}}$ и ${\displaystyle H^{HO}}$ будут иметь такие же равные интервалы, но будут сдвинуты на величины ${\displaystyle \hbar \omega }$ и ${\displaystyle \hbar \omega /2}$, соответственно. Отсюда следует, что спектр ${\displaystyle H^{HO}}$ принимает знакомый вид ${\displaystyle E_{n}^{HO}=\hbar \omega (n+1/2)}$.

Супералгебра суперсимметричной квантовой механики

В обычной квантовой механике, мы узнаем, что алгебра операторов определяется коммутационными соотношения между этими операторами. Например, канонические операторы координаты и импульса имеют коммутатор ${\displaystyle [x,p]=i}$. (Здесь, мы используем «естественные единицы», где постоянная Планка устанавливается равной 1.) Более сложный случай алгебры операторов углового момента; эти величины тесно связаны с вращательной симметрией в трехмерном пространстве. Обобщая это понятие, мы определяем антикоммутатор, который задаёт отношения операторов, точно так же как и обычный коммутатор, но с противоположным знаком:

${\displaystyle \{A,B\}=AB+BA.}$

Если операторы связаны как антикоммутаторами, так и коммутаторами, мы говорим, что они являются частью супералгебры Ли. Допустим, у нас есть квантовая система, описываемая гамильтонианом ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и набор ${\displaystyle N}$ операторов ${\displaystyle Q_{i}}$. Мы будем называть эту систему суперсимметричной, если следующие антикоммутационные соотношения справедливы для всех ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$:

Если это так, то мы называем ${\displaystyle Q_{i}}$ суперзарядами системы.

Пример

Рассмотрим пример одномерной нерелятивистской частицы с 2-мя(то есть два состояния) внутренними степенями свободы и назовём их «спин» (это не совсем спин, потому что реальный спин является свойством 3D-частицы). Пусть ${\displaystyle b}$ оператор, который преобразует «спин-вверх» частицы на «спин-вниз». Его сопряжённый оператор ${\displaystyle b^{\dagger }}$ преобразует спин-вниз частицу в спин-вверх состояние. Операторы нормированы таким образом что антикоммутатор ${\displaystyle \{b,b^{\dagger }\}=1}$. И конечно, ${\displaystyle b^{2}=0}$. Пусть ${\displaystyle p}$ импульс частицы и ${\displaystyle x}$ её координата с ${\displaystyle [x,p]=i}$. Пусть ${\displaystyle W}$ (суперпотенциал) — произвольная комплексная аналитическая функция ${\displaystyle x}$ которая определяет суперсимметричные операторы

${\displaystyle Q_{1}={\frac {1}{2}}\left[(p-iW)b+(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]}$

${\displaystyle Q_{2}={\frac {i}{2}}\left[(p-iW)b-(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }\right]}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle Q_{1}}$ и ${\displaystyle Q_{2}}$ являются самосопряженными. Пусть гамильтониан

${\displaystyle H=\{Q_{1},Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {(p+\Im \{W\})^{2}}{2}}+{\frac {{\Re \{W\}}^{2}}{2}}+{\frac {\Re \{W\}'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

где W' — это производная W. Также обратите внимание, что {Q₁,Q₂}=0. Это ничто иное, как N = 2 суперсимметрия. Обратите внимание, что ${\displaystyle \Im \{W\}}$ действует как электромагнитный векторный потенциал.

Давайте также называть состояние «спин-вниз» «бозонным», а состояние «спин-вверх» «фермионным». Это только аналогия с квантовой теорией поля и не должно пониматься буквально. Тогда, Q₁ и Q₂ отображают «бозонные» состояния в «фермионные» и наоборот.

Давайте немного переформулируем:

определим

${\displaystyle Q=(p-iW)b}$

и конечно,

${\displaystyle Q^{\dagger }=(p+iW^{\dagger })b^{\dagger }}$

${\displaystyle \{Q,Q\}=\{Q^{\dagger },Q^{\dagger }\}=0}$

и

${\displaystyle \{Q^{\dagger },Q\}=2H}$.

Оператор является «бозонным», если он переводит «бозонные» состояния в «бозонные» состояния и «фермионые» состояния в «фермионые» состояния. Оператор «фермионный», если переводит «бозонные» состояния в «фермионные» состояния и наоборот. Любой оператор может быть выражен единственным образом как сумма бозонного и фермионного операторов. Определим суперкоммутатор [,} следующим образом: между двумя бозонными операторами или бозонным и фермионным операторами, это ничто иное как коммутатор, но между двумя фермионными операторами, это антикоммутатор.

Тогда, x и p-бозонные операторы и b, ${\displaystyle b^{\dagger }}$, Q и ${\displaystyle Q^{\dagger }}$ это фермионные операторы.

В Гейзенберговской нотации, x, b и ${\displaystyle b^{\dagger }}$ являются функциями времени

и

${\displaystyle [Q,x\}=-ib}$

${\displaystyle [Q,b\}=0}$

${\displaystyle [Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-i\Re \{W\}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+i\Re \{W\}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0}$

Эти выражения в общем случае нелинейны: то есть x(t), b(t) и ${\displaystyle b^{\dagger }(t)}$ не образуют линейное суперсимметричное представление, потому что ${\displaystyle \Re \{W\}}$ не обязательно линейны по x. Чтобы избежать этой проблемы, определим самосопряженный оператор ${\displaystyle F=\Re \{W\}}$. Тогда,

${\displaystyle [Q,x\}=-ib}$

${\displaystyle [Q,b\}=0}$

${\displaystyle [Q,b^{\dagger }\}={\frac {dx}{dt}}-iF}$

${\displaystyle [Q,F\}=-{\frac {db}{dt}}}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },x\}=ib^{\dagger }}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b\}={\frac {dx}{dt}}+iF}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },b^{\dagger }\}=0}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },F\}={\frac {db^{\dagger }}{dt}}}$

мы имеем линейное представление суперсимметрии.

Теперь введем две «формальных» величины: ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$, где последняя, это сопряжённая первой такая, что

${\displaystyle \{\theta ,\theta \}=\{{\bar {\theta }},{\bar {\theta }}\}=\{{\bar {\theta }},\theta \}=0}$

и обе они коммутируют с бозонными операторами, но антикоммутируют с фермионными.

Далее, мы определяем понятие суперполе:

${\displaystyle f(t,{\bar {\theta }},\theta )=x(t)-i\theta b(t)-i{\bar {\theta }}b^{\dagger }(t)+{\bar {\theta }}\theta F(t)}$

f является самосопряженным оператором. Затем,

${\displaystyle [Q,f\}={\frac {\partial }{\partial \theta }}f-i{\bar {\theta }}{\frac {\partial }{\partial t}}f,}$

${\displaystyle [Q^{\dagger },f\}={\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta }}}}f-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}f.}$

Кстати, там же имеется U(1)_R симметрия, где p, x, W обладают нулевым R-зарядом, а у ${\displaystyle b^{\dagger }}$ R-заряд равен 1 и R-заряд b равен −1.

Инвариантная форма

Предположим ${\displaystyle W}$ реально для всех реальных ${\displaystyle x}$. Тогда мы можем упростить выражение для гамильтониана в

${\displaystyle H={\frac {(p)^{2}}{2}}+{\frac {{W}^{2}}{2}}+{\frac {W'}{2}}(bb^{\dagger }-b^{\dagger }b)}$

Существуют определённые классы суперпотенциалов такие, что бозонные и фермионные гамильтонианы имеют схожие формы. Конкретно

${\displaystyle V_{+}(x,a_{1})=V_{-}(x,a_{2})+R(a_{1})}$

где ${\displaystyle a}$параметры. Например, потенциал атома водорода, с моментом импульса ${\displaystyle l}$ можно написать

${\displaystyle {\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}l(l+1)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}-E_{0}}$

Это соответствует суперпотенциалу ${\displaystyle V_{-}}$

${\displaystyle W={\frac {\sqrt {2m}}{h}}{\frac {e^{2}}{24\pi \epsilon _{0}(l+1)}}-{\frac {h(l+1)}{r{\sqrt {2m}}}}}$

${\displaystyle V_{+}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}+{\frac {h^{2}(l+1)(l+2)}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {e^{4}m}{32\pi ^{2}h^{2}\epsilon _{0}^{2}(l+1)^{2}}}}$

Это и есть потенциал для момент импульса ${\displaystyle l+1}$ сдвинутого на константу. После решения для ${\displaystyle l=0}$ основного состояние, суперсимметричные операторы можно использовать для построения остального связанных состояний спектра.

В общем, поскольку ${\displaystyle V_{-}}$ и ${\displaystyle V_{+}}$ являются потенциалами партнерами, они имеют тот же энергетический спектр, за исключением одной энергии основного состояния. Мы можем продолжать этот процесс нахождения потенциалов партнеров с условием инвариантности формы, посредством следующей формулы для уровней энергии в зависимости от параметров потенциала

${\displaystyle E_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}R(a_{i})}$

где ${\displaystyle a_{i}}$ параметры для нескольких потенциалов-партнёров.

Примечания

1. Л. Э. Генденштейн, И. В. Криве. Суперсимметрия в квантовой механике // УФН. — 1985. — Т. 146. — С. 553—590. Архивировано 22 апреля 2019 года.
2. Valance, A.; Morgan, T. J.; Bergeron, H. (1990), Eigensolution of the Coulomb Hamiltonian via supersymmetry, American Journal of Physics, 58 (5), AAPT: 487–491, doi:10.1119/1.16452, Архивировано из оригинала 24 февраля 2013
3. Таллер, Б. (1992). Уравнения Дирака. Тексты и монографии по физике. Спрингер.
4. Schrödinger, Erwin (1940), A Method of Determining Quantum-Mechanical Eigenvalues and Eigenfunctions, Proceedings of the Royal Irish Academy, 46, Royal Irish Academy: 9–16
5. Schrödinger, Erwin (1941), Further Studies on Solving Eigenvalue Problems by Factorization, Proceedings of the Royal Irish Academy, 46, Royal Irish Academy: 183–206

Ссылки