Стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных

Стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных — обобщение дифференциального уравнения в частных производных за счёт введения случайных сил и коэффициентов аналогично тому, как обыкновенные стохастические дифференциальные уравнения служат обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений.

Они имеют значение для квантовой теории поля, статистической механики и пространственного моделирования^[1][2].

Примеры

Одним из наиболее изучаемых стохастических уравнений в частных производных является стохастическое уравнение теплопроводности^[3], которое может быть формально записано как

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}$

где ${\displaystyle \Delta }$ обозначает Лапласиан, а ${\displaystyle \xi }$ означает пространственно-временной белый шум. Другие примеры включают в себя стохастические версии известных линейных уравнений, таких как волновое уравнение^[4] и уравнение Шредингера^[5].

Проблемы

Одной из сложностей является их недостаточная регулярность. В одномерном пространстве решения стохастического уравнения теплопроводности являются почти на 1/2 непрерывными по Гёльдеру в пространстве и на 1/4 непрерывными по Гёльдеру во времени. Для размерностей два и выше решения даже не являются функциональными, но их можно интерпретировать как случайные распределения.

Для линейных уравнений обычно можно найти мягкое решение с использованием техник полугруппы^[6].

Однако проблемы начинаются при рассмотрении нелинейных уравнений. Например,

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}$

где ${\displaystyle P}$ является полиномом. В этом случае даже неясно, как следует интерпретировать уравнение. Такое уравнение также не будет иметь функциональное решение в размерности больше единицы, а значит, и не будет иметь точечного смысла. Известно, что пространство распределений не имеет структуры произведения. Это основная проблема такой теории. Это приводит к необходимости некоторой формы перенормировки.

Ранней попыткой обойти такие проблемы для некоторых конкретных уравнений был так называемый приём да Прато — Дебюше, который заключался в изучении таких нелинейных уравнений как возмущений линейных^[7]. Однако этот метод можно использовать только в очень ограниченных условиях, так как он зависит как от нелинейного фактора, так и от регулярности термина воздействующего шума. В последние годы область значительно расширилась, и теперь существует большой арсенал для гарантирования локального существования для различных субкритических стохастических уравнений в частных производных^[8].

Примечания

1. Prévôt, Claudia. A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations : [англ.] / Claudia Prévôt, Michael Röckner. — Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 2007. — ISBN 978-3-540-70780-6. Архивная копия от 29 марта 2020 на Wayback Machine
2. Krainski, Elias T. Advanced Spatial Modeling with Stochastic Partial Differential Equations Using R and INLA / Elias T. Krainski, Virgilio Gómez-Rubio, Haakon Bakka … [и др.]. — Boca Raton, FL : Chapman and Hall/CRC Press, 2018. — ISBN 978-1-138-36985-6. Архивная копия от 29 марта 2020 на Wayback Machine
3. Edwards, S.F.; Wilkinson, D.R. (8 мая 1982). "The Surface Statistics of a Granular Aggregate". Proc. R. Soc. Lond. A (англ.). 381 (1780): 17–31. Bibcode:1982RSPSA.381...17E. doi:10.1098/rspa.1982.0056. JSTOR 2397363. Архивировано 29 декабря 2023. Дата обращения: 22 марта 2024.
4. Dalang, Robert C.; Frangos, N. E. (1998). "The Stochastic Wave Equation in Two Spatial Dimensions". The Annals of Probability. 26 (1): 187–212. doi:10.1214/aop/1022855416. ISSN 0091-1798. JSTOR 2652898. Архивировано 9 мая 2023. Дата обращения: 22 марта 2024.
5. Diósi, Lajos; Strunz, Walter T. (24 ноября 1997). "The non-Markovian stochastic Schrödinger equation for open systems". Physics Letters A (англ.). 235 (6): 569–573. arXiv:quant-ph/9706050. Bibcode:1997PhLA..235..569D. doi:10.1016/S0375-9601(97)00717-2. ISSN 0375-9601.
6. Walsh, John B. An introduction to stochastic partial differential equations // École d'Été de Probabilités de Saint Flour XIV - 1984 : [англ.]. — Springer Berlin Heidelberg, 1986. — Vol. 1180. — P. 265–439. — ISBN 978-3-540-39781-6. — doi:10.1007/bfb0074920.
7. Da Prato, Giuseppe; Debussche, Arnaud (2003). "Strong Solutions to the Stochastic Quantization Equations". Annals of Probability. 31 (4): 1900–1916. JSTOR 3481533.
8. Corwin, Ivan; Shen, Hao (2020). "Some recent progress in singular stochastic partial differential equations". Bull. Amer. Math. Soc. 57 (3): 409–454. doi:10.1090/bull/1670.

Литература

• Bain, A. Fundamentals of Stochastic Filtering / A. Bain, D. Crisan. — New York : Springer, 2009. — Vol. 60. — ISBN 978-0387768953.
• Holden, H. Stochastic Partial Differential Equations: A Modeling, White Noise Functional Approach / H. Holden, B. Øksendal, J. Ubøe … [и др.]. — 2nd. — New York : Springer, 2010. — ISBN 978-0-387-89487-4. — doi:10.1007/978-0-387-89488-1.
• Lindgren, F.; Rue, H.; Lindström, J. (2011). "An Explicit Link between Gaussian Fields and Gaussian Markov Random Fields: The Stochastic Partial Differential Equation Approach". Journal of the Royal Statistical Society Series B: Statistical Methodology. 73 (4): 423–498. doi:10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x. hdl:20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645. ISSN 1369-7412.
• Xiu, D. Numerical Methods for Stochastic Computations: A Spectral Method Approach. — Princeton University Press, 2010. — ISBN 978-0-691-14212-8.

Ссылки

• A Minicourse on Stochastic Partial Differential Equations  (неопр.) (2006).
• Hairer, Martin (2009). "An Introduction to Stochastic PDEs". arXiv:0907.4178 [math.PR].