Показатель Гёльдера

Показатель Гёльдера ${\displaystyle \alpha }$ (известен также как показатель Липшица) — характеристика гладкости функции. Локальный (точечный) показатель Гёльдера характеризует локальную гладкость (локальную нерегулярность) функции в точке. В общем случае показатель Гёльдера является вещественным.

Определение

Функция ${\displaystyle f}$ имеет локальный (или точечный) показатель Гёльдера ${\displaystyle \alpha \geqslant 0}$ в точке ${\displaystyle v}$ тогда, когда существует константа ${\displaystyle K\geqslant 0}$ и полином ${\displaystyle p_{v}}$ порядка ${\displaystyle m=\alpha }$ такой, что ${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |f(t)-p_{v}(t)|\leqslant K|t-v|^{\alpha }.}$

Если функция ${\displaystyle f}$ регулярна по Гёльдеру с показателем ${\displaystyle \alpha }$ (имеет однородный показатель Гёльдера ${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \alpha >m}$ в окрестности точки ${\displaystyle v}$, то это означает что функция обязательно ${\displaystyle m}$ раз дифференцируема в этой окрестности.

Функция, которая терпит разрыв в точке ${\displaystyle v}$, имеет показатель Гёльдера ${\displaystyle \alpha =0}$ в этой точке.

Локальный (точечный) показатель Гёльдера может произвольно изменяться во времени. Это изменение может создаваться функцией с так называемыми неизолированными нерегулярностями, где функция имеет разную регулярность по Гёльдеру в каждой точке. В противоположность, постоянный (однородный) во времени показатель Гёльдера обеспечивает более глобальное измерение регулярности, которое относится ко всему интервалу.

Говоря неформальным языком, показатель Гёльдера определяет дробную дифференцируемость функции (в точке).

Свойства

Показатель Гёльдера функции ${\displaystyle f}$ на множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$ определяется предельным спадом его Фурье-преобразования. Сигнал ограничен и имеет однородный показатель Гёльдера ${\displaystyle \alpha }$ на множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$, если ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {f}}(\omega )|(1+|\omega |^{\alpha })\,d\omega <+\infty }$.

Локальный показатель Гёльдера может быть рассчитан исходя из спада коэффициентов вейвлет-преобразования функции, находящихся на линии локальных максимумов модуля вейвлет-преобразования^[1].

См. также

• Липшицево отображение
• Показатель Хёрста

Примечания

1. Mallat S., Hwang W. L. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE Transactions on Information Theory. — 1992. — Vol. 38. — No. 2. — P. 617—639.

Ссылки

• Условие Гёльдера-Липшица и его геометрический смысл