Симпсон давал частные уроки математики, а также занимался ткацким ремеслом, ткал шелковые ткани.
В 1737 году была издана первая работа Симпсона «A new treatise of fluxions» (Лондон). Через три года, в 1740 году вышла в свет вторая его работа, посвящённая теории вероятности: «A treatise on the nature and laws of change» (Лондон). В этой работе было немного оригинальных решений принадлежащих самому автору.
Потом вышли в свет работы «Essay on several subjects in speculative and mixed mathematics» (Лондон, 1740) и «The doctrine of аnnuities and reversions» (там же, 1742). В 1743 году вышел сборник Симпсона «Mathematical Dissertations on a variety of physical and analytical subjects» (Лондон). В одной из диссертаций этого сборника, озаглавленной «Of the areas of curves etc. by approximation» (стр. 109—119), была выведена формула, известная под названием правила Симпсона, приближённого определения квадратур кривых, принимаемых по первоначальной идее Ньютона за параболы. В другой диссертации Симспоном был описан вывод формулы рефракции.[3].
В 1750 году вышло второе сочинение Симпсона о методе флюксий (то есть дифференциальном исчислении) под заглавием «The doctrine and applications of fluxions» (2 тома, Лондон). В нём автор заявляет, что оно не должно быть считаемо вторым изданием вышедшего 13-ю годами ранее юношеского опыта. После этого вышли «Select exercises in the mathematics» (Лондон, 1752) и «Miscellaneous tracts» (там же, 1757).
В журнале «Philosophical Transactions» были опубликованы несколко работ Симсона, включая «On the fluents of multinomians, and series affected by radical sings, which do not begin to converge till after the second term» (1748), «The motion of projectiles near the earth’s surface considered etc.» (1748), «A general method for exhibiting the value of an algebraic expression involving several radical quantifies in an infinite series etc.» (1751), «The resolution of a general proposition for determining the horary alteration of position of the terrestrial equator from the attraction of the sun and moon etc.» (1757), «The invention of a general method for determining the sum of every 2d, 3d, 4th or 5th etc. term of a series, taken in order; the sum of the whole series being known» (1758).
Симпсон умер в 1761 году в результате душевной болезни.
Краткие сведения о жизни и деятельности Симпсона находятся в статье де ла Ланда «Remarques sur la vie de Mss. de Lacaille, Bradley et Simpson» («Connaissance des temps pour 1767», 197—204).
Список сочинений Симпсона приведён в «Biographisch-L itterarisches Handwörrterbuch von Poggendorff» (т. II, стр. 937).[3]